Ejercicio resuelto de Derivadas · Matemáticas II · 2023

Calcule $a$, $b$ y $c$ para que la función

$f(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^2+ax+b& \text{si }0\le x<1\\ cx& \text{si }1\le x\le 4\end{array}$

cumpla las hipótesis del teorema de Rolle en el intervalo $[0,4]$. [2 puntos]

El teorema de Rolle pide tres cosas en el intervalo $[0,4]$: continuidad en el intervalo cerrado, derivabilidad en el abierto e igualdad de los valores en los extremos. Cada trozo es un polinomio, así que solo hay que imponer las condiciones en $x=1$, que es donde cambia la definición, y la igualdad $f(0)=f(4)$.

Continuidad en $x=1$:

${\lim }_{x\to 1^{-}}(x^2+ax+b)=1+a+b{\lim }_{x\to 1^{+}}(cx)=c=f(1)$

$1+a+b=c$

Derivabilidad en $x=1$:

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=\{\begin{array}{ll}2x+a& \text{si }0<x<1\\ c& \text{si }1<x<4\end{array}\Rightarrow f^{\mathrm{\prime }}\left(1^{-}\right)=2+a,f^{\mathrm{\prime }}\left(1^{+}\right)=c$

$2+a=c$

Restando esta ecuación de la anterior desaparecen $a$ y $c$:

$(1+a+b)-(2+a)=0\Rightarrow b-1=0\Rightarrow b=1$

Valores en los extremos. Imponemos $f(0)=f(4)$:

$f(0)=b=1f(4)=4c$

$1=4c\Rightarrow c={\displaystyle \frac{1}{4}}$

Y de $2+a=c$ obtenemos el último coeficiente:

$a=c-2={\displaystyle \frac{1}{4}}-2=-{\displaystyle \frac{7}{4}}$

Con estos valores la función es $f(x)=x^2-\frac{7}{4}x+1$ en $[0,1)$ y $f(x)=\frac{x}{4}$ en $[1,4]$, y en efecto $f(0)=f(4)=1$.

Los coeficientes pedidos son $a=-\frac{7}{4}$, $b=1$ y $c=\frac{1}{4}$.