Ejercicio resuelto de Derivadas · Matemáticas II · 2024

Sea la función $f:(0,+\mathrm{\infty })\to \mathbb{R}$ definida por $f(x)=\ln (x)$, donde $\ln$ denota la función logaritmo neperiano, y los puntos de su gráfica $A(1,0)$ y $B(e,1)$.

a) Determine, si existen, los puntos de la gráfica de $f$ en los que la recta tangente a la gráfica es paralela a la recta que pasa por los puntos $A$ y $B$. [1,5 puntos]

b) Determine la ecuación de la recta normal a la gráfica de $f$ en el punto $A$. [1 punto]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Determine,}}\mathbf{\text{si}}\mathbf{\text{existen,}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{puntos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{gr}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{fica}}\mathbf{\text{de}}\mathit{f}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{recta}}\mathbf{\text{tangente}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{gr}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{fica}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{paralela}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{recta}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{pasa}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{puntos}}\mathit{A}\mathbf{\text{y}}\mathit{B}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{[1,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Dos rectas son paralelas cuando tienen la misma pendiente. Calculamos primero la pendiente de la recta que pasa por $A$ y $B$ y después imponemos que la derivada, que es la pendiente de la tangente, tome ese valor.

$m={\displaystyle \frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}}={\displaystyle \frac{1-0}{e-1}}={\displaystyle \frac{1}{e-1}}$

$f(x)=\ln (x)\Rightarrow f^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{1}{x}}$

$f^{\mathrm{\prime }}(a)=m\Rightarrow {\displaystyle \frac{1}{a}}={\displaystyle \frac{1}{e-1}}\Rightarrow a=e-1$

El valor obtenido pertenece al dominio $(0,+\mathrm{\infty })$, pues $e-1\approx \mathrm{1,718}>0$. Calculamos la ordenada del punto:

$f(e-1)=\ln (e-1)\approx \mathrm{0,5413}$

Existe un único punto de la gráfica de $f$ en el que la tangente es paralela a la recta $AB$, y es el punto $(e-1,\ln (e-1))$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{ecuaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{recta}}\mathbf{\text{normal}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{gr}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{fica}}\mathbf{\text{de}}\mathit{f}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{punto}}\mathit{A}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

La recta normal en un punto es la perpendicular a la tangente en ese punto, de modo que su pendiente es la opuesta de la inversa de $f^{\mathrm{\prime }}(1)$.

$f^{\mathrm{\prime }}(1)={\displaystyle \frac{1}{1}}=1$

$m_n=-{\displaystyle \frac{1}{f^{\mathrm{\prime }}(1)}}=-1$

Escribimos la ecuación punto-pendiente en $A(1,0)$:

$y-0=-1(x-1)$

La recta normal a la gráfica de $f$ en el punto $A$ es $y=-x+1$.