Ejercicio resuelto de Derivadas · Matemáticas II · 2023

Sea la función $f:[-2,2\pi ]⟶\mathbb{R}$, definida por $f(x)=\{\begin{array}{ll}5x+1& \text{si }-2\le x\le 0\\ e^x\cos (x)& \text{si }0<x\le 2\pi \end{array}$

a) Halle los extremos relativos y absolutos de $f$ (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan). [2 puntos]

b) Determine la ecuación de la recta tangente a la gráfica de $f$ en el punto de abscisa $x={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$. [0,5 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Halle}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{extremos}}\mathbf{\text{relativos}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{absolutos}}\mathbf{\text{de}}\mathit{f}\mathbf{\text{(abscisas}}\mathbf{\text{donde}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{obtienen}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{valores}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{alcanzan).}}\mathbf{\text{[2}}\mathbf{\text{puntos]}}$

La función está definida en un intervalo cerrado, así que los extremos absolutos hay que buscarlos entre los puntos críticos, los puntos donde no es derivable y los extremos del intervalo. Empezamos comprobando qué ocurre en $x=0$, donde cambia la definición.

$f(0)=5\cdot 0+1=1;{\displaystyle \underset{x\to 0^{+}}{\lim }{e}^x\cos (x)=1}$

La función es continua en $x=0$, pero no derivable: por la izquierda la pendiente vale $5$ y por la derecha $e^0(\cos 0-\mathrm{sen}0)=1$. En la primera rama, $f^{\mathrm{\prime }}(x)=5>0$, luego crece en todo $[-2,0]$ y no hay extremos interiores. Derivamos la segunda rama:

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=e^x\cos (x)-e^x\mathrm{sen}(x)=e^x(\cos (x)-\mathrm{sen}(x))$

Como la exponencial es siempre positiva, el signo lo pone el paréntesis:

$\cos (x)=\mathrm{sen}(x)\Rightarrow \mathrm{tg}(x)=1\Rightarrow x={\displaystyle \frac{\pi }{4}},x={\displaystyle \frac{5\pi }{4}}$



En $x=\frac{\pi }{4}$ la función pasa de crecer a decrecer y en $x=\frac{5\pi }{4}$ de decrecer a crecer:

$f\text{\hspace{0.17em}⁣}\left({\displaystyle \frac{\pi }{4}}\right)=e^{\pi \mathrm{/}4}\cdot {\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}\approx \mathrm{1,55}$

$f\text{\hspace{0.17em}⁣}\left({\displaystyle \frac{5\pi }{4}}\right)=-e^{5\pi \mathrm{/}4}\cdot {\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}\approx -\mathrm{35,89}$

Comparamos ahora con los valores en los extremos del intervalo:

$f(-2)=5\cdot (-2)+1=-9;f(2\pi )=e^{2\pi }\cos (2\pi )=e^{2\pi }\approx \mathrm{535,49}$

Hay un máximo relativo en $x={\displaystyle \frac{\pi }{4}}$, de valor ${\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}{e}^{\pi \mathrm{/}4}\approx \mathrm{1,55}$, y un mínimo relativo en $x={\displaystyle \frac{5\pi }{4}}$, de valor $-{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}{e}^{5\pi \mathrm{/}4}\approx -\mathrm{35,89}$. El máximo absoluto se alcanza en el extremo $x=2\pi$, donde vale $e^{2\pi }\approx \mathrm{535,49}$, y el mínimo absoluto coincide con el mínimo relativo, en $x={\displaystyle \frac{5\pi }{4}}$.



La abscisa cae en la segunda rama, así que usamos la expresión y la derivada ya calculadas para $e^x\cos (x)$.

$f\text{\hspace{0.17em}⁣}\left({\displaystyle \frac{\pi }{2}}\right)=e^{\pi \mathrm{/}2}\cos \text{\hspace{0.17em}⁣}\left({\displaystyle \frac{\pi }{2}}\right)=0$

$f^{\mathrm{\prime }}\text{\hspace{0.17em}⁣}\left({\displaystyle \frac{\pi }{2}}\right)=e^{\pi \mathrm{/}2}(0-1)=-e^{\pi \mathrm{/}2}$

Escribimos la ecuación punto-pendiente:

$y-0=-e^{\pi \mathrm{/}2}(x-{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$

La recta tangente en $x={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$ es $y=-e^{\pi \mathrm{/}2}(x-{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$, cuya pendiente vale aproximadamente $-\mathrm{4,81}$.