Ejercicio resuelto de Derivadas · Matemáticas II · 2020

Sea la función derivable $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ definida por

$f(x)=\{\begin{array}{ll}{e}^{2ax-4b}& \text{si }x<1\\ 1-x\ln x& \text{si }x\ge 1\end{array}$

($\ln$ denota la función logaritmo neperiano).

a) Determine los valores de $a$ y $b$. [1,75 puntos]

b) Halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica de $f$ en el punto de abscisa $x=2$. [0,75 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{valores}}\mathbf{\text{de}}\mathit{a}\mathbf{\text{y}}\mathit{b}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{[1,75}}\mathbf{\text{puntos]}}$

El enunciado afirma que la función es derivable en todo $\mathbb{R}$. Cada rama lo es en el interior de su intervalo, así que la información está en el punto de empalme $x=1$: allí la función ha de ser primero continua y después derivable, y cada condición da una ecuación.

$f(1)=1-1\cdot \ln 1=1;{\displaystyle \underset{x\to 1^{-}}{\lim }{e}^{2ax-4b}=e^{2a-4b}}$

$e^{2a-4b}=1\Rightarrow 2a-4b=0$

Derivamos ahora cada rama e igualamos las derivadas laterales en $x=1$:

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=\{\begin{array}{ll}2a{e}^{2ax-4b}& \text{si }x<1\\ -(\ln x+1)& \text{si }x>1\end{array}$

$f^{\mathrm{\prime }}(1^{-})=2a{e}^{2a-4b}=2a\cdot 1=2a;f^{\mathrm{\prime }}(1^{+})=-(\ln 1+1)=-1$

$2a=-1\Rightarrow a=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$

Sustituimos en la primera ecuación:

$2(-{\displaystyle \frac{1}{2}})-4b=0\Rightarrow -1=4b\Rightarrow b=-{\displaystyle \frac{1}{4}}$

Los valores pedidos son $a=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$ y $b=-{\displaystyle \frac{1}{4}}$.



La abscisa $x=2$ cae en la segunda rama, que no depende de los parámetros.

$f(2)=1-2\ln 2$

$f^{\mathrm{\prime }}(2)=-(\ln 2+1)$

Escribimos la ecuación punto-pendiente y desarrollamos:

$y-(1-2\ln 2)=-(1+\ln 2)(x-2)$

$y=-(1+\ln 2)x+2+2\ln 2+1-2\ln 2$

La recta tangente en $x=2$ es $y=-(1+\ln 2)x+3$, cuya pendiente vale aproximadamente $-\mathrm{1,69}$.