Ejercicio resuelto de Derivadas · Matemáticas II · 2020

Sea la función $f(x)={\displaystyle \frac{x^2-2x+1}{x^2+1}}$.

a) [1,5 puntos] Halle razonadamente las coordenadas de los extremos relativos de la función $f(x)$ y clasifíquelos.

b) [1 punto] Calcule la ecuación de la recta tangente y la ecuación de la recta normal a la gráfica de la función $f(x)$ en el punto de abscisa $x=0$.

El denominador $x^2+1$ no se anula nunca, así que la función es continua y derivable en todo $\mathbb{R}$. Derivamos por la regla del cociente.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{(2x-2)(x^2+1)-(x^2-2x+1)2x}{{(x^2+1)}^2}}$

$f^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{2x^3+2x-2x^2-2-2x^3+4x^2-2x}{{(x^2+1)}^2}}={\displaystyle \frac{2x^2-2}{{(x^2+1)}^2}}$

El denominador es siempre positivo, de modo que el signo de $f^{\mathrm{\prime }}$ es el de $2(x^2-1)$.

$2(x^2-1)=0\Rightarrow x=\pm 1$



La parábola $x^2-1$ es positiva fuera de sus raíces y negativa entre ellas, así que la función crece, decrece y vuelve a crecer. Por tanto:

En $x=-1$ la función pasa de creciente a decreciente: hay un máximo relativo.

En $x=1$ pasa de decreciente a creciente: hay un mínimo relativo.

Calculamos las ordenadas correspondientes:

$f(-1)={\displaystyle \frac{1+2+1}{1+1}}={\displaystyle \frac{4}{2}}=2,f(1)={\displaystyle \frac{1-2+1}{1+1}}={\displaystyle \frac{0}{2}}=0$

La función tiene un máximo relativo en $(-1,2)$ y un mínimo relativo en $(1,0)$.



Necesitamos la ordenada del punto y la pendiente, que es el valor de la derivada.

$f(0)={\displaystyle \frac{0-0+1}{0+1}}=1$

$f^{\mathrm{\prime }}(0)={\displaystyle \frac{2\cdot 0-2}{(0+1{)}^2}}=-2$

Recta tangente, por la ecuación punto-pendiente:

$y-1=-2(x-0)\Rightarrow y=-2x+1$

La recta normal es perpendicular a la tangente en ese punto, así que su pendiente es la opuesta de la inversa.

$m_n=-{\displaystyle \frac{1}{f^{\mathrm{\prime }}(0)}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$

$y-1={\displaystyle \frac{1}{2}}(x-0)\Rightarrow y={\displaystyle \frac{x}{2}}+1$

La recta tangente es $y=-2x+1$ y la recta normal, $y={\displaystyle \frac{x}{2}}+1$.