Ejercicio resuelto de Derivadas · Matemáticas II · Aragón · 2020

Dada la siguiente función: $f(x)={\displaystyle \frac{-x^2}{2}}+2\ln (x+1)$

a) Calcule el dominio de $f(x)$. [0,25 puntos]

b) Calcule los intervalos de crecimiento y decrecimiento. [1,75 puntos]

El primer sumando es un polinomio, definido en todo $\mathbb{R}$, y el segundo un logaritmo neperiano, que solo está definido para argumentos estrictamente positivos.

$x+1>0\Rightarrow x>-1\Rightarrow \text{ Dom}f=(-1,+\mathrm{\infty })$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{intervalos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{crecimiento}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{decrecimiento.}}\mathbf{\text{[1,75}}\mathbf{\text{puntos]}}$

El crecimiento y el decrecimiento los da el signo de la primera derivada, que conviene reunir en una sola fracción para poder estudiarla.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=-x+{\displaystyle \frac{2}{x+1}}={\displaystyle \frac{-x(x+1)+2}{x+1}}={\displaystyle \frac{-x^2-x+2}{x+1}}$

Factorizamos el numerador buscando sus raíces:

$-x^2-x+2=0\Rightarrow x^2+x-2=0\Rightarrow x={\displaystyle \frac{-1\pm 3}{2}}\Rightarrow \{\begin{array}{l}x=1\\ x=-2\end{array}$

$f^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{-(x+2)(x-1)}{x+1}}$

La raíz $x=-2$ queda fuera del dominio, así que no separa ningún intervalo: en todo el dominio se cumple $x>-1$ y por tanto $x+2>0$ y $x+1>0$. El signo de la derivada depende únicamente del factor $x-1$, cambiado de signo.

$-1<x<1:x-1<0\Rightarrow f^{\mathrm{\prime }}(x)>0\Rightarrow f\text{ es creciente}$

$x>1:x-1>0\Rightarrow f^{\mathrm{\prime }}(x)<0\Rightarrow f\text{ es decreciente}$

Lo comprobamos evaluando la derivada en un punto de cada intervalo:

$f^{\mathrm{\prime }}(0)={\displaystyle \frac{2}{1}}=2>0;f^{\mathrm{\prime }}(2)={\displaystyle \frac{-4\cdot 1}{3}}=-{\displaystyle \frac{4}{3}}<0$



La función es creciente en $(-1,1)$ y decreciente en $(1,+\mathrm{\infty })$. Como pasa de crecer a decrecer, en $x=1$ hay un máximo relativo, de valor

$f(1)=-{\displaystyle \frac{1}{2}}+2\ln 2\approx \mathrm{0,8863}$