Ejercicio resuelto de Derivadas · Matemáticas II · 2022

Considere la función $f(x)=x^2{e}^{-x}$.

a) Calcule ${\lim }_{x\to +\mathrm{\infty }}f(x)$ y ${\lim }_{x\to -\mathrm{\infty }}f(x)$. [1 punto]

b) Calcule la derivada primera de $f(x)$. [0,5 puntos]

c) Determine los extremos relativos de $f(x)$. [0,5 puntos]

d) Determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento de $f(x)$. [0,5 puntos]

En $+\mathrm{\infty }$ aparece la indeterminación $\mathrm{\infty }\cdot 0$, que se resuelve escribiendo la exponencial en el denominador y aplicando dos veces la regla de L'Hôpital.

${\lim }_{x\to +\mathrm{\infty }}{x}^2{e}^{-x}={\lim }_{x\to +\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{x^2}{e^x}}=\left({\displaystyle \frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}}\right)={\lim }_{x\to +\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{2x}{e^x}}={\lim }_{x\to +\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{2}{e^x}}=0$

En $-\mathrm{\infty }$ no hay indeterminación: los dos factores se van a $+\mathrm{\infty }$.

${\lim }_{x\to -\mathrm{\infty }}{x}^2{e}^{-x}=(+\mathrm{\infty })\cdot (+\mathrm{\infty })=+\mathrm{\infty }$



Derivamos el producto y sacamos factor común la exponencial.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=2x{e}^{-x}+x^2(-e^{-x})=e^{-x}(2x-x^2)$

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=-x(x-2)e^{-x}$



Igualamos la derivada a cero. La exponencial no se anula nunca, así que solo cuenta el factor polinómico.

$-x(x-2)e^{-x}=0\Rightarrow \{\begin{array}{l}x=0\\ x=2\end{array}$

Estudiamos el signo de $f^{\mathrm{\prime }}$ a un lado y otro de cada punto crítico.

$f^{\mathrm{\prime }}(-1)=-(-1)(-3)e^1\approx -\mathrm{8,15}<0,f^{\mathrm{\prime }}(1)=-(1)(-1)e^{-1}\approx \mathrm{0,37}>0,f^{\mathrm{\prime }}(3)=-(3)(1)e^{-3}\approx -\mathrm{0,15}<0$



En $x=0$ la función pasa de decrecer a crecer, luego hay un mínimo relativo, y en $x=2$ pasa de crecer a decrecer, luego hay un máximo relativo.

$f(0)=0,f(2)=4e^{-2}\approx \mathrm{0,5413}$

Los extremos relativos son el mínimo $(0,0)$ y el máximo $(2,4e^{-2})\approx (2;\mathrm{0,5413})$.



Del estudio de signos del apartado anterior se lee directamente la monotonía.

La función crece en $(0,2)$ y decrece en $(-\mathrm{\infty },0)\cup (2,+\mathrm{\infty })$.