Ejercicio resuelto de Derivadas · Matemáticas II · 2021

Considere la función $f(x)={\displaystyle \frac{x}{e^x}}$.

a) Calcule la derivada primera. [0,5 puntos]

b) Halle los intervalos de crecimiento y/o decrecimiento. [0,5 puntos]

c) Halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica de $f(x)$ en el punto $x=2$. [0,5 puntos]

d) Calcule ${\lim }_{x\to \mathrm{\infty }}f(x)$. [1 punto]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{derivada}}\mathbf{\text{primera.}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Conviene escribir la función como un producto antes de derivar, que sale más corto que la regla del cociente.

$f(x)={\displaystyle \frac{x}{e^x}}=x{e}^{-x}$

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=1\cdot e^{-x}+x(-e^{-x})=e^{-x}(1-x)$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Halle}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{intervalos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{crecimiento}}\mathbf{\text{y/o}}\mathbf{\text{decrecimiento.}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

La exponencial es siempre positiva, así que el signo de la derivada lo pone solo el factor $1-x$.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=0\Rightarrow 1-x=0\Rightarrow x=1$

$x<1\Rightarrow 1-x>0\Rightarrow f^{\mathrm{\prime }}(x)>0,x>1\Rightarrow 1-x<0\Rightarrow f^{\mathrm{\prime }}(x)<0$



La función crece en $(-\mathrm{\infty },1)$ y decrece en $(1,+\mathrm{\infty })$; en $x=1$ hay un máximo relativo, de valor $f(1)=\frac{1}{e}\approx \mathrm{0,3679}$.



Necesitamos la ordenada del punto y la pendiente, que es la derivada en él.

$f(2)=2e^{-2}\approx \mathrm{0,2707},f^{\mathrm{\prime }}(2)=e^{-2}(1-2)=-e^{-2}\approx -\mathrm{0,1353}$

$y-f(2)=f^{\mathrm{\prime }}(2)(x-2)\Rightarrow y-2e^{-2}=-e^{-2}(x-2)$

$y=-e^{-2}x+2e^{-2}+2e^{-2}=e^{-2}(4-x)$

La recta tangente es $y=e^{-2}(4-x)={\displaystyle \frac{4-x}{e^2}}$.



Aparece la indeterminación $\frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}$, que se resuelve con la regla de L'Hôpital.



El límite vale $0$, de modo que $y=0$ es asíntota horizontal por la derecha: la exponencial es un infinito de orden superior al de $x$.