Ejercicio resuelto de Derivadas · Matemáticas II · Navarra · 2025

El ayuntamiento de Baigorri quiere modificar la estructura del skate park que obedece a la función negativa $y=f(x)$ correspondiente a la ecuación $x^2+y^2=4$, pasando este de ser un semicírculo de 2 metros de radio a tener la siguiente forma (simétrica respecto al eje $OY$):



a) Calcule el punto $P$. [0,5 puntos]

b) De entre todas las rectas que prolongan el arco de circunferencia $\widehat{QP}$ y pasan por $P$, calcule la ecuación de aquella que permite que la trayectoria del skate no se vea alterada al pasar de la curva a la recta (no hay baches). [2 puntos]

La estructura de partida es la mitad inferior de la circunferencia $x^2+y^2=4$, de centro el origen y radio 2. Despejando $y$ y quedándonos con la rama negativa,

$x^2+y^2=4\Rightarrow y^2=4-x^2\Rightarrow f(x)=-\sqrt{4-x^2},x\in [-2,2]$

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{punto}}\mathit{P}\mathbf{\text{.}}$

En la figura los radios $\overrightarrow{OQ}$ y $\overrightarrow{OP}$ forman un ángulo recto, y la forma nueva es simétrica respecto del eje $OY$, así que cada uno de ellos está a ${45}^{\circ }$ de la vertical. El punto $P$ es el del cuarto cuadrante:

$P(2\cos (-{45}^{\circ }),2\sin (-{45}^{\circ }))=(2\cdot {\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}},-2\cdot {\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}})=(\sqrt{2},-\sqrt{2})$

Se comprueba que está en la circunferencia y que los dos radios son perpendiculares:

${\left(\sqrt{2}\right)}^2+{(-\sqrt{2})}^2=2+2=4\overrightarrow{OQ}\cdot \overrightarrow{OP}=(-\sqrt{2})\sqrt{2}+(-\sqrt{2})(-\sqrt{2})=-2+2=0$

El punto pedido es $P(\sqrt{2},-\sqrt{2})$, y por simetría $Q(-\sqrt{2},-\sqrt{2})$.



Que no haya bache significa que en $P$ la recta y la curva tengan la misma pendiente: la recta buscada es la tangente a la curva en $P$.

Derivamos $f(x)=-\sqrt{4-x^2}$:

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=-{\displaystyle \frac{-2x}{2\sqrt{4-x^2}}}={\displaystyle \frac{x}{\sqrt{4-x^2}}}$

$f^{\mathrm{\prime }}\left(\sqrt{2}\right)={\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{4-2}}}={\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}}=1$

La pendiente es 1. Escribimos la recta en forma punto-pendiente:

$y-(-\sqrt{2})=1\cdot (x-\sqrt{2})\Rightarrow y=x-2\sqrt{2}$

El mismo resultado se obtiene sin derivar: la tangente en $P$ es perpendicular al radio $\overrightarrow{OP}=(\sqrt{2},-\sqrt{2})$, cuya pendiente es $-1$, luego la de la tangente es $1$.

La recta que empalma sin bache con el arco es $y=x-2\sqrt{2}$, que llega al nivel del suelo en $x=2\sqrt{2}\approx \mathrm{2,83}$ metros.