Ejercicio resuelto de Derivadas · Matemáticas II · Navarra · 2024

Se considera la función $f(x)=\sqrt{2x^2+2x+3}$.

a) Demuestre que la función es continua en el intervalo $[-1,3]$ y derivable en $(-1,3)$. [1,25 puntos]

b) Compruebe que existe un valor $\alpha \in (-1,3)$ tal que $f^{\mathrm{\prime }}(\alpha )={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$. Enuncie el/los resultado(s) teórico(s) utilizado(s), y justifique su uso. [1,25 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Demuestre}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{continua}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{intervalo}}\mathrm{<mrow><mo\; stretchy="false">[</mo><mo\; mathvariant="bold-italic">-</mo><mn\; mathvariant="bold">1</mn><mo\; separator="true">,</mo><mn\; mathvariant="bold">3</mn><mo\; stretchy="false">]</mo></mrow>}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{derivable}}\mathbf{\text{en}}\mathrm{<mrow><mo\; stretchy="false">(</mo><mo\; mathvariant="bold-italic">-</mo><mn\; mathvariant="bold">1</mn><mo\; separator="true">,</mo><mn\; mathvariant="bold">3</mn><mo\; stretchy="false">)</mo></mrow>}\mathbf{\text{.}}$

La raíz cuadrada es continua donde su radicando es no negativo, y derivable donde es estrictamente positivo. Estudiamos, pues, el signo de $2x^2+2x+3$:

$2x^2+2x+3=0\Rightarrow \mathrm{\Delta }=2^2-4\cdot 2\cdot 3=4-24=-20<0$

Al no tener raíces reales y ser positivo el coeficiente principal, el radicando es positivo para todo $x$; su valor mínimo se alcanza en el vértice $x=-\frac{1}{2}$ y vale $\frac{5}{2}$.

Por tanto la función es continua y derivable en todo $\mathbb{R}$, y en particular es continua en $[-1,3]$ y derivable en $(-1,3)$, con

$f^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{4x+2}{2\sqrt{2x^2+2x+3}}}={\displaystyle \frac{2x+1}{\sqrt{2x^2+2x+3}}}$



El resultado que se aplica es el teorema del valor medio de Lagrange: si $f$ es continua en $[a,b]$ y derivable en $(a,b)$, existe algún $\alpha \in (a,b)$ tal que

$f^{\mathrm{\prime }}(\alpha )={\displaystyle \frac{f(b)-f(a)}{b-a}}$

Las dos hipótesis quedaron probadas en el apartado anterior. Calculamos los valores en los extremos:

$f(-1)=\sqrt{2-2+3}=\sqrt{3}$

$f(3)=\sqrt{18+6+3}=\sqrt{27}=3\sqrt{3}$

${\displaystyle \frac{f(3)-f(-1)}{3-(-1)}}={\displaystyle \frac{3\sqrt{3}-\sqrt{3}}{4}}={\displaystyle \frac{2\sqrt{3}}{4}}={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$

El teorema garantiza entonces que existe $\alpha \in (-1,3)$ con $f^{\mathrm{\prime }}(\alpha )={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$, que es lo que se pedía. Resolviendo la ecuación se obtiene además su valor exacto, $\alpha ={\displaystyle \frac{\sqrt{3}-1}{2}}\approx \mathrm{0,366}$, que efectivamente pertenece al intervalo.