Ejercicio resuelto de Derivadas · Matemáticas II · Navarra · 2021

Sea la función $f(x)=\ln \left({\displaystyle \frac{5x-2-x\sin \frac{\pi x}{2}}{x^2-4x+6}}\right)$.

a) Demuestre que la función es continua en el intervalo $[1,3]$. [1 punto]

b) Demuestre que existe $\alpha \in (1,3)$ tal que $f^{\mathrm{\prime }}(\alpha )={\displaystyle \frac{3}{2}}\ln 2$. Enuncie el/los resultado(s) teórico(s) utilizado(s), y justifique su uso. [1,5 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Demuestre}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{continua}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{intervalo}}\mathrm{<mrow><mo\; stretchy="false">[</mo><mn\; mathvariant="bold">1</mn><mo\; separator="true">,</mo><mn\; mathvariant="bold">3</mn><mo\; stretchy="false">]</mo></mrow>}\mathbf{\text{.}}$

El logaritmo es continuo donde su argumento es positivo, así que estudiamos por separado numerador y denominador.

El denominador no se anula nunca:

$x^2-4x+6=(x-2{)}^2+2\ge 2>0$

El numerador es positivo en todo el intervalo, porque el seno no pasa de 1 y $x>0$:

$5x-2-x\sin {\displaystyle \frac{\pi x}{2}}\ge 5x-2-x=4x-2\ge 4-2=2>0\text{para }x\ge 1$

El cociente es, por tanto, positivo y continuo en $[1,3]$, y la composición con el logaritmo también. La función es continua en $[1,3]$ y, por los mismos motivos, derivable en $(1,3)$.



El resultado que se aplica es el teorema del valor medio de Lagrange: si $f$ es continua en $[a,b]$ y derivable en $(a,b)$, existe algún $\alpha \in (a,b)$ tal que

$f^{\mathrm{\prime }}(\alpha )={\displaystyle \frac{f(b)-f(a)}{b-a}}$

Las dos hipótesis están probadas en el apartado anterior. Calculamos los valores en los extremos:

$f(1)=\ln \left({\displaystyle \frac{5-2-\sin \frac{\pi }{2}}{1-4+6}}\right)=\ln \left({\displaystyle \frac{3-1}{3}}\right)=\ln {\displaystyle \frac{2}{3}}$

$f(3)=\ln \left({\displaystyle \frac{15-2-3\sin \frac{3\pi }{2}}{9-12+6}}\right)=\ln \left({\displaystyle \frac{13+3}{3}}\right)=\ln {\displaystyle \frac{16}{3}}$

${\displaystyle \frac{f(3)-f(1)}{3-1}}={\displaystyle \frac{\ln \frac{16}{3}-\ln \frac{2}{3}}{2}}={\displaystyle \frac{1}{2}}\ln {\displaystyle \frac{16\mathrm{/}3}{2\mathrm{/}3}}={\displaystyle \frac{\ln 8}{2}}={\displaystyle \frac{3\ln 2}{2}}$

que es exactamente el valor del enunciado. El teorema garantiza, pues, que existe $\alpha \in (1,3)$ con $f^{\mathrm{\prime }}(\alpha )={\displaystyle \frac{3}{2}}\ln 2$.