Ejercicio resuelto de Derivadas · Matemáticas II · Navarra · 2020

Calcule los extremos absolutos de la función $f(x)=e^{\pi x}\cdot \sin (\pi x)$ en el intervalo $[{\displaystyle \frac{1}{2}},2]$. Mencione el resultado teórico empleado y justifique su uso. [2,5 puntos]

El resultado teórico que se emplea es el teorema de Weierstrass: una función continua en un intervalo cerrado y acotado alcanza en él su máximo y su mínimo absolutos. La función $f(x)=e^{\pi x}\sin (\pi x)$ es producto de una exponencial y un seno, continuas en todo $\mathbb{R}$, luego es continua en $[\frac{1}{2},2]$ y los dos extremos absolutos existen.

Los candidatos son los puntos críticos del interior y los dos extremos del intervalo. Derivamos:

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=\pi e^{\pi x}\sin (\pi x)+\pi e^{\pi x}\cos (\pi x)=\pi e^{\pi x}[\sin (\pi x)+\cos (\pi x)]$

La exponencial no se anula nunca, así que

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=0\Rightarrow \sin (\pi x)+\cos (\pi x)=0\Rightarrow \tan (\pi x)=-1\Rightarrow \pi x={\displaystyle \frac{3\pi }{4}}+k\pi$

$x={\displaystyle \frac{3}{4}}+k\Rightarrow \text{en }[\frac{1}{2},2]:x={\displaystyle \frac{3}{4}},x={\displaystyle \frac{7}{4}}$

El signo de $f^{\mathrm{\prime }}$ es el de $\sin (\pi x)+\cos (\pi x)=\sqrt{2}\sin (\pi x+\frac{\pi }{4})$, que es positivo antes de $\frac{3}{4}$, negativo entre $\frac{3}{4}$ y $\frac{7}{4}$ y positivo después:



En $x=\frac{3}{4}$ hay, por tanto, un máximo relativo y en $x=\frac{7}{4}$ un mínimo relativo. Evaluamos los cuatro candidatos:

$f\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)=e^{\pi \mathrm{/}2}\sin {\displaystyle \frac{\pi }{2}}=e^{\pi \mathrm{/}2}\approx \mathrm{4,810}$

$f\left({\displaystyle \frac{3}{4}}\right)=e^{3\pi \mathrm{/}4}\sin {\displaystyle \frac{3\pi }{4}}={\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}{e}^{3\pi \mathrm{/}4}\approx \mathrm{7,460}$

$f\left({\displaystyle \frac{7}{4}}\right)=e^{7\pi \mathrm{/}4}\sin {\displaystyle \frac{7\pi }{4}}=-{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}{e}^{7\pi \mathrm{/}4}\approx -\mathrm{172,641}$

$f(2)=e^{2\pi }\sin (2\pi )=0$

Comparando los cuatro valores, el máximo absoluto se alcanza en $x={\displaystyle \frac{3}{4}}$ y vale ${\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}{e}^{3\pi \mathrm{/}4}\approx \mathrm{7,46}$, y el mínimo absoluto se alcanza en $x={\displaystyle \frac{7}{4}}$ y vale $-{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}{e}^{7\pi \mathrm{/}4}\approx -\mathrm{172,64}$. Los dos son interiores al intervalo.