Ejercicio resuelto de Derivadas · Matemáticas II · Navarra · 2020

Sea la función $f(x)=(x+3{)}^{\sin (\pi x)}\cdot \ln (x^2-x+2)$.

a) Demuestre que la función es continua en el intervalo $[-1,0]$. [1 punto]

b) Demuestre que existe $\alpha \in (-1,0)$ tal que $f^{\mathrm{\prime }}(\alpha )=-\ln 2$. Enuncie los resultados teóricos empleados y justifique su uso. [1,5 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Demuestre}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{continua}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{intervalo}}\mathrm{<mrow><mo\; stretchy="false">[</mo><mo\; mathvariant="bold-italic">-</mo><mn\; mathvariant="bold">1</mn><mo\; separator="true">,</mo><mn\; mathvariant="bold">0</mn><mo\; stretchy="false">]</mo></mrow>}\mathbf{\text{.}}$

La función es el producto de dos factores.

El primero, $(x+3{)}^{\sin (\pi x)}$, es una potencia de base y exponente variables; es continua donde la base es positiva, y en $[-1,0]$ se tiene $x+3\in [2,3]$, siempre positiva. El exponente, $\sin (\pi x)$, es continuo en todo $\mathbb{R}$.

El segundo, $\ln (x^2-x+2)$, exige que el argumento sea positivo, y lo es siempre porque su discriminante es negativo:

$\mathrm{\Delta }=(-1{)}^2-4\cdot 1\cdot 2=1-8=-7<0$

El producto de funciones continuas es continuo, así que $f$ es continua en $[-1,0]$; y por los mismos motivos es derivable en $(-1,0)$.



El resultado que se aplica es el teorema del valor medio de Lagrange: si $f$ es continua en $[a,b]$ y derivable en $(a,b)$, existe algún $\alpha \in (a,b)$ tal que

$f^{\mathrm{\prime }}(\alpha )={\displaystyle \frac{f(b)-f(a)}{b-a}}$

Las dos hipótesis están probadas en el apartado anterior. Calculamos los valores en los extremos, teniendo en cuenta que el seno se anula en los múltiplos enteros de $\pi$ y que toda potencia de exponente cero vale 1:

$f(-1)=(-1+3{)}^{\sin (-\pi )}\ln (1+1+2)=2^0\cdot \ln 4=\ln 4=2\ln 2$

$f(0)=(0+3{)}^{\sin 0}\ln (0-0+2)=3^0\cdot \ln 2=\ln 2$

${\displaystyle \frac{f(0)-f(-1)}{0-(-1)}}={\displaystyle \frac{\ln 2-2\ln 2}{1}}=-\ln 2$

que es exactamente el valor del enunciado. El teorema garantiza, pues, que existe $\alpha \in (-1,0)$ con $f^{\mathrm{\prime }}(\alpha )=-\ln 2$.