Ejercicio resuelto de Derivadas · Matemáticas II · Navarra · 2022

Se considera la función $f(x)=e^{\frac{1}{\sin x+\cos x}}$.

a) Estudie la continuidad de la función en el intervalo $[0,\pi ]$. [0,75 puntos]

b) Halle su extremo relativo en ese mismo intervalo. [1,75 puntos]

La función es la exponencial compuesta con ${\displaystyle \frac{1}{\sin x+\cos x}}$, y ese cociente deja de estar definido donde se anula el denominador. Escribimos la suma como un solo seno:

$\sin x+\cos x=\sqrt{2}\sin (x+{\displaystyle \frac{\pi }{4}})$

$\sin x+\cos x=0\Rightarrow x+{\displaystyle \frac{\pi }{4}}=k\pi \Rightarrow x=-{\displaystyle \frac{\pi }{4}}+k\pi$

De todas esas soluciones, la única que cae en $[0,\pi ]$ es $x={\displaystyle \frac{3\pi }{4}}$.

En los demás puntos del intervalo la función es composición y cociente de funciones continuas con denominador no nulo, luego es continua. En $x=\frac{3\pi }{4}$ no está definida, y estudiando los límites laterales se ve qué tipo de discontinuidad es: al acercarnos por la izquierda, $x+\frac{\pi }{4}$ tiende a $\pi$ por defecto y el seno es positivo, mientras que por la derecha es negativo.

${\displaystyle \underset{x\to {\frac{3\pi }{4}}^{-}}{\lim }{e}^{\frac{1}{\sin x+\cos x}}=e^{\frac{1}{0^{+}}}=e^{+\mathrm{\infty }}=+\mathrm{\infty }}$

${\displaystyle \underset{x\to {\frac{3\pi }{4}}^{+}}{\lim }{e}^{\frac{1}{\sin x+\cos x}}=e^{\frac{1}{0^{-}}}=e^{-\mathrm{\infty }}=0}$

La función es continua en $[0,\pi ]-\left\{\frac{3\pi }{4}\right\}$ y tiene en $x=\frac{3\pi }{4}$ una discontinuidad esencial, con asíntota vertical por la izquierda.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Halle}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{extremo}}\mathbf{\text{relativo}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{ese}}\mathbf{\text{mismo}}\mathbf{\text{intervalo.}}$

Derivamos usando la regla de la cadena:

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=e^{\frac{1}{\sin x+\cos x}}\cdot (-{\displaystyle \frac{\cos x-\sin x}{{(\sin x+\cos x)}^2}})={\displaystyle \frac{(\sin x-\cos x)e^{\frac{1}{\sin x+\cos x}}}{{(\sin x+\cos x)}^2}}$

La exponencial es siempre positiva y el denominador es un cuadrado, así que el signo de $f^{\mathrm{\prime }}(x)$ es el de $\sin x-\cos x$.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=0\Rightarrow \sin x=\cos x\Rightarrow \tan x=1\Rightarrow x={\displaystyle \frac{\pi }{4}}$

que es la única solución en $[0,\pi ]$.



Antes de $\frac{\pi }{4}$ se tiene $\sin x<\cos x$ y la función decrece; después, $\sin x>\cos x$ y la función crece. Hay, por tanto, un mínimo relativo, cuyo valor es

$f\left({\displaystyle \frac{\pi }{4}}\right)=e^{\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}}}=e^{\frac{1}{\sqrt{2}}}=e^{\frac{\sqrt{2}}{2}}\approx \mathrm{2,0281}$

El único extremo relativo de la función en $[0,\pi ]$ es un mínimo, que se alcanza en $x={\displaystyle \frac{\pi }{4}}$ y vale $e^{\frac{\sqrt{2}}{2}}\approx \mathrm{2,0281}$.