Ejercicio resuelto de Derivadas · Matemáticas II · Navarra · 2022

Sea la función $f(x)=\sin ({\displaystyle \frac{\pi }{4}}\ln {\displaystyle \frac{1}{x}})$.

a) Demuestre que la función es continua en el intervalo $[{\displaystyle \frac{1}{e}},e]$. [0,75 puntos]

b) Demuestre que existe un valor $\alpha \in ({\displaystyle \frac{1}{e}},e)$ tal que $f^{\mathrm{\prime }}(\alpha )={\displaystyle \frac{e\sqrt{2}}{1-e^2}}$. Enuncie el/los resultado(s) teórico(s) utilizado(s), y justifique su uso. [1,75 puntos]

La función es la composición del seno con ${\displaystyle \frac{\pi }{4}}\ln {\displaystyle \frac{1}{x}}$. El logaritmo está definido y es continuo para $x>0$, y todo el intervalo $[\frac{1}{e},e]$ cumple esa condición, porque $\frac{1}{e}\approx \mathrm{0,368}>0$. El seno es continuo en todo $\mathbb{R}$, así que la composición es continua en $[\frac{1}{e},e]$.

Por el mismo motivo es derivable en el interior del intervalo:

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=\cos ({\displaystyle \frac{\pi }{4}}\ln {\displaystyle \frac{1}{x}})\cdot {\displaystyle \frac{\pi }{4}}\cdot x\cdot (-{\displaystyle \frac{1}{x^2}})=-{\displaystyle \frac{\pi }{4x}}\cos ({\displaystyle \frac{\pi }{4}}\ln {\displaystyle \frac{1}{x}})$



El resultado que se aplica es el teorema del valor medio de Lagrange: si $f$ es continua en $[a,b]$ y derivable en $(a,b)$, existe algún $\alpha \in (a,b)$ tal que

$f^{\mathrm{\prime }}(\alpha )={\displaystyle \frac{f(b)-f(a)}{b-a}}$

Las dos hipótesis están probadas en el apartado anterior. Calculamos los valores en los extremos, recordando que $\ln \frac{1}{x}=-\ln x$:

$f\left({\displaystyle \frac{1}{e}}\right)=\sin ({\displaystyle \frac{\pi }{4}}\ln e)=\sin {\displaystyle \frac{\pi }{4}}={\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}$

$f(e)=\sin ({\displaystyle \frac{\pi }{4}}\ln {\displaystyle \frac{1}{e}})=\sin (-{\displaystyle \frac{\pi }{4}})=-{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}$

y aplicamos la fórmula:

${\displaystyle \frac{f(e)-f\left(\frac{1}{e}\right)}{e-\frac{1}{e}}}={\displaystyle \frac{-\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{e^2-1}{e}}}={\displaystyle \frac{-\sqrt{2}\cdot e}{e^2-1}}={\displaystyle \frac{e\sqrt{2}}{1-e^2}}$

que es exactamente el valor del enunciado. El teorema garantiza, pues, que existe $\alpha \in (\frac{1}{e},e)$ con $f^{\mathrm{\prime }}(\alpha )={\displaystyle \frac{e\sqrt{2}}{1-e^2}}\approx -\mathrm{0,6017}$, que es lo que se quería demostrar.