Ejercicio resuelto de Derivadas · Matemáticas II · Navarra · 2022

Se considera la función $f(x)={\displaystyle \frac{e^{x^2-2}}{x}}$.

a) Demuestre que la función es continua en el intervalo $[-2,-1]$. [0,75 puntos]

b) Compruebe que existe un valor $\alpha \in (-2,-1)$ tal que $f^{\mathrm{\prime }}(\alpha )=e$. Enuncie el/los resultado(s) teórico(s) utilizado(s), y justifique su uso. [1,75 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Demuestre}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{continua}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{intervalo}}\mathrm{<mrow><mo\; stretchy="false">[</mo><mo\; mathvariant="bold-italic">-</mo><mn\; mathvariant="bold">2</mn><mo\; separator="true">,</mo><mo\; mathvariant="bold-italic">-</mo><mn\; mathvariant="bold">1</mn><mo\; stretchy="false">]</mo></mrow>}\mathbf{\text{.}}$

La función es un cociente: el numerador, $e^{x^2-2}$, es continuo en todo $\mathbb{R}$ por ser la exponencial compuesta con un polinomio, y el denominador, $x$, también lo es. El único punto conflictivo sería $x=0$, donde se anula el denominador, y no pertenece a $[-2,-1]$.

Por tanto $f$ es continua en $[-2,-1]$; por el mismo motivo es derivable en ese intervalo, con

$f^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{2x{e}^{x^2-2}\cdot x-e^{x^2-2}}{x^2}}={\displaystyle \frac{e^{x^2-2}(2x^2-1)}{x^2}}$



Aquí no se aplica el teorema del valor medio, sino el de Bolzano —o el de los valores intermedios— a la propia función derivada: si $f^{\mathrm{\prime }}$ es continua en $[a,b]$ y $k$ está comprendido entre $f^{\mathrm{\prime }}(a)$ y $f^{\mathrm{\prime }}(b)$, existe algún punto interior en el que $f^{\mathrm{\prime }}$ vale $k$.

La expresión de $f^{\mathrm{\prime }}(x)$ obtenida arriba es de nuevo un cociente de funciones continuas con denominador no nulo en $[-2,-1]$, así que $f^{\mathrm{\prime }}$ es continua en ese intervalo cerrado. Calculamos sus valores en los extremos:

$f^{\mathrm{\prime }}(-2)={\displaystyle \frac{e^{4-2}(2\cdot 4-1)}{4}}={\displaystyle \frac{7e^2}{4}}\approx \mathrm{12,93}$

$f^{\mathrm{\prime }}(-1)={\displaystyle \frac{e^{1-2}(2-1)}{1}}={\displaystyle \frac{1}{e}}\approx \mathrm{0,368}$

Como

$f^{\mathrm{\prime }}(-1)={\displaystyle \frac{1}{e}}\approx \mathrm{0,368}<e\approx \mathrm{2,718}<\mathrm{12,93}\approx {\displaystyle \frac{7e^2}{4}}=f^{\mathrm{\prime }}(-2)$

el valor $e$ está comprendido entre los dos, y el teorema garantiza que existe $\alpha \in (-2,-1)$ tal que $f^{\mathrm{\prime }}(\alpha )=e$, que es lo que se pedía.