Ejercicio resuelto de Derivadas · Matemáticas II · Navarra · 2025

Sea $f(x)=e^{x\cdot \sin \left(\frac{\pi }{2}x\right)}$.

a) Demuestre que existe un punto $c$ en $(2,3)$ tal que $f(c)={\displaystyle \frac{1}{2}}$. Enuncie y justifique el resultado teórico empleado. [1,25 puntos]

b) Demuestre que existe un punto $d$ en $(0,2)$ tal que $f^{\mathrm{\prime }}(d)=0$. Enuncie y justifique el resultado teórico empleado. [1,25 puntos]

El resultado que se aplica es el teorema de los valores intermedios (Darboux): si $f$ es continua en $[a,b]$, toma en $(a,b)$ todos los valores comprendidos entre $f(a)$ y $f(b)$.

La función $f(x)=e^{x\sin \left(\frac{\pi }{2}x\right)}$ es continua en todo $\mathbb{R}$, por ser la composición de la exponencial con un producto de funciones continuas; en particular lo es en $[2,3]$.

Calculamos los valores en los extremos:

$f(2)=e^{2\sin (\pi )}=e^0=1$

$f(3)=e^{3\sin \left(\frac{3\pi }{2}\right)}=e^{3\cdot (-1)}=e^{-3}\approx \mathrm{0,0498}$

Como $e^{-3}<{\displaystyle \frac{1}{2}}<1$, el valor $\frac{1}{2}$ está comprendido entre $f(3)$ y $f(2)$, y el teorema garantiza que existe al menos un $c\in (2,3)$ con $f(c)={\displaystyle \frac{1}{2}}$.



Ahora aplicamos el teorema de Rolle: si $f$ es continua en $[a,b]$, derivable en $(a,b)$ y $f(a)=f(b)$, existe algún $d\in (a,b)$ con $f^{\mathrm{\prime }}(d)=0$.

i) $f$ es continua en $[0,2]$, como ya se ha razonado.

ii) $f$ es derivable en $(0,2)$, por ser composición de funciones derivables en todo $\mathbb{R}$:

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=[\sin \left(\frac{\pi }{2}x\right)+\frac{\pi }{2}x\cos \left(\frac{\pi }{2}x\right)]e^{x\sin \left(\frac{\pi }{2}x\right)}$

iii) Los valores en los extremos coinciden, porque en los dos se anula el exponente:

$f(0)=e^{0\cdot \sin (0)}=e^0=1f(2)=e^{2\sin (\pi )}=e^0=1$

Se cumplen las tres hipótesis, luego el teorema de Rolle asegura que existe al menos un punto $d\in (0,2)$ en el que $f^{\mathrm{\prime }}(d)=0$.