Ejercicio resuelto de Derivadas · Matemáticas II · Navarra · 2024

Se considera la función $f(x)=\cos (\pi x)+\sin (\pi x)$.

a) Estudie la continuidad de la función en el intervalo $[0,1]$. [0,5 puntos]

b) Halle sus extremos relativos y absolutos en ese mismo intervalo. Enuncie el/los resultado(s) teórico(s) utilizado(s), y justifique su uso. [2 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Estudie}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{continuidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{intervalo}}\mathrm{<mrow><mo\; stretchy="false">[</mo><mn\; mathvariant="bold">0</mn><mo\; separator="true">,</mo><mn\; mathvariant="bold">1</mn><mo\; stretchy="false">]</mo></mrow>}\mathbf{\text{.}}$

El seno y el coseno son continuos en todo $\mathbb{R}$, y la composición con la función lineal $\pi x$ y la suma de funciones continuas conservan la continuidad. Por tanto $f(x)=\cos (\pi x)+\sin (\pi x)$ es continua en todo $\mathbb{R}$ y, en particular, en $[0,1]$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Halle}}\mathbf{\text{sus}}\mathbf{\text{extremos}}\mathbf{\text{relativos}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{absolutos}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{ese}}\mathbf{\text{mismo}}\mathbf{\text{intervalo.}}\mathbf{\text{Enuncie}}\mathbf{\text{el/los}}\mathbf{\text{resultado(s)}}\mathbf{\text{te}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{rico(s)}}\mathbf{\text{utilizado(s),}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{justifique}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{uso.}}$

Los resultados que se usan son dos. El teorema de Weierstrass asegura que una función continua en un intervalo cerrado y acotado alcanza en él su máximo y su mínimo absolutos; como acabamos de probar la continuidad en $[0,1]$, sabemos de antemano que los dos existen. Y el criterio de la derivada localiza los extremos relativos, que solo pueden estar donde se anula $f^{\mathrm{\prime }}$.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=-\pi \sin (\pi x)+\pi \cos (\pi x)=\pi [\cos (\pi x)-\sin (\pi x)]$

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=0\Rightarrow \cos (\pi x)=\sin (\pi x)\Rightarrow \tan (\pi x)=1$

En $[0,1]$ el argumento $\pi x$ recorre $[0,\pi ]$, donde la única solución de $\tan \theta =1$ es $\theta =\frac{\pi }{4}$:

$\pi x={\displaystyle \frac{\pi }{4}}\Rightarrow x={\displaystyle \frac{1}{4}}$

Comprobamos con la derivada segunda de qué extremo se trata:

$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=-{\pi }^2\cos (\pi x)-{\pi }^2\sin (\pi x)=-{\pi }^2[\cos (\pi x)+\sin (\pi x)]$

$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}\left({\displaystyle \frac{1}{4}}\right)=-{\pi }^2({\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}+{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}})=-{\pi }^2\sqrt{2}<0$

luego en $x=\frac{1}{4}$ hay un máximo relativo, y su valor es

$f\left({\displaystyle \frac{1}{4}}\right)={\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}+{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}=\sqrt{2}\approx \mathrm{1,4142}$

Para los extremos absolutos comparamos ese valor con los de los extremos del intervalo:

$f(0)=\cos 0+\sin 0=1f(1)=\cos \pi +\sin \pi =-1$



El máximo absoluto se alcanza en $x=\frac{1}{4}$ y vale $\sqrt{2}$; el mínimo absoluto se alcanza en $x=1$ y vale $-1$. El único extremo relativo es el máximo de $x=\frac{1}{4}$: los valores de los bordes son extremos absolutos, pero no relativos, porque en ellos la función no está definida a ambos lados dentro del intervalo.