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Examen de Matemáticas II de Navarra 2025 (convocatoria extraordinaria)

Ejercicios del examen de selectividad de Matemáticas II de Navarra, convocatoria extraordinaria de 2025. Aquí hay 8 ejercicios publicados, 8 con la solución desarrollada. El enunciado completo es el del PDF oficial.

Descargar el PDF oficial del examen

Ejercicio 1: Derivadas

El ayuntamiento de Baigorri quiere modificar la estructura del skate park que obedece a la función negativa

y = f (x)

correspondiente a la ecuación

x^{2} + y^{2} = 4

, pasando este de ser un semicírculo de 2 metros de radio a tener la siguiente forma (simétrica respecto al eje

O Y

a) Calcule el punto

P

. [0,5 puntos]

b) De entre todas las rectas que prolongan el arco de circunferencia

\hat{Q P}

y pasan por

P

, calcule la ecuación de aquella que permite que la trayectoria del skate no se vea alterada al pasar de la curva a la recta (no hay baches). [2 puntos]

Ver la solución del ejercicio 1

Ejercicio 2: Optimización

Un ciclista de montaña quiere ir de un punto

A

, localizado en el monte a 8 km de una pista recta, a un punto

C

ubicado al final de la misma. Sabiendo que por la pista circulará a 20 km/h y fuera de ella a 12 km/h, calcule a qué distancia de

B

debe unirse a la pista para llegar a

C

en el menor tiempo posible. [2,5 puntos]

Figura del ejercicio

Ver la solución del ejercicio 2

Ejercicio 3: Sistemas de ecuaciones

Estudie el siguiente sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro real

m

y resuélvalo en los casos en que sea compatible:

{\begin{cases} (m^{2} - m) x + (m + 2) y - z = 1 - m^{2} \\ (m^{2} - m) x + (2 m + 1) y = 2 \\ (m - m^{2}) x - (2 m + 1) y + (m + 2) z = 2 m + 2 \end{cases}

Mencione el resultado teórico empleado y justifique su uso. [2,5 puntos]

Ver la solución del ejercicio 3

Ejercicio 4: Matrices

Sean

A

B

dos matrices cuadradas

3 \times 3

tales que

∣ A ∣ = \frac{1}{3}

∣ B ∣ = 3

. Calcule

∣ C ∣

sabiendo que

C = 3 \cdot (A^{t})^{2} \cdot (A \cdot B)^{- 1}

[2,5 puntos]

Ver la solución del ejercicio 4

Ejercicio 5: Rectas y Planos

Calcule la ecuación continua de la recta

t

que corta perpendicularmente a las rectas

r

s

, siendo: [2,5 puntos]

r \equiv {\begin{cases} x + y - 2 z - 10 = 0 \\ x + z - 3 = 0 \end{cases}

;

s \equiv \frac{x - 4}{- 1} = \frac{y + 1}{1} = \frac{z}{- 1}

Ver la solución del ejercicio 5

Ejercicio 6: Rectas y Planos

Calcule la ecuación del plano que equidista de los puntos

A (3, 3, 5)

B (1, - 1, 1)

. Calcule la ecuación de los planos que distan del plano anterior

6 u

. [2,5 puntos]

Ver la solución del ejercicio 6

Ejercicio 7: Derivadas

Sea

f (x) = e^{x \cdot \sin (\frac{π}{2} x)}

.

a) Demuestre que existe un punto

c

(2, 3)

tal que

f (c) = \frac{1}{2}

. Enuncie y justifique el resultado teórico empleado. [1,25 puntos]

b) Demuestre que existe un punto

d

(0, 2)

tal que

f^{'} (d) = 0

. Enuncie y justifique el resultado teórico empleado. [1,25 puntos]

Ver la solución del ejercicio 7

Ejercicio 8: Integrales y Áreas

Calcule los tres puntos de corte entre

f (x) = \sin (π x)

g (x) = x^{3} - x

. Calcule el área encerrada entre ambas curvas. [2,5 puntos]

Ver la solución del ejercicio 8