Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2025

Calcule la ecuación del plano que equidista de los puntos $A(3,3,5)$ y $B(1,-1,1)$. Calcule la ecuación de los planos que distan del plano anterior $6u$. [2,5 puntos]

El lugar geométrico de los puntos que equidistan de $A$ y de $B$ es el plano mediador del segmento $\overline{AB}$: el que pasa por su punto medio y es perpendicular a él.

$\overrightarrow{AB}=(1,-1,1)-(3,3,5)=(-2,-4,-4)\parallel (1,2,2)$

$M=({\displaystyle \frac{3+1}{2}},{\displaystyle \frac{3-1}{2}},{\displaystyle \frac{5+1}{2}})=(2,1,3)$

Tomamos $\vec{n}=(1,2,2)$ como normal y exigimos que $M$ pertenezca al plano:

$\pi :1(x-2)+2(y-1)+2(z-3)=0\Rightarrow \pi :x+2y+2z-10=0$

Se comprueba que equidista de los dos puntos, $d(A,\pi )={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }3+6+10-10\mathrm{\mid }}{\sqrt{1+4+4}}}={\displaystyle \frac{9}{3}}=3$ y $d(B,\pi )={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }1-2+2-10\mathrm{\mid }}{3}}={\displaystyle \frac{9}{3}}=3$.

Los planos que distan de $\pi$ seis unidades son paralelos a él, así que tienen la misma normal y solo cambia el término independiente:

$\sigma :x+2y+2z+D=0$

Aplicamos la fórmula de la distancia entre planos paralelos:

$d(\pi ,\sigma )={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }D-(-10)\mathrm{\mid }}{\sqrt{1^2+2^2+2^2}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }D+10\mathrm{\mid }}{3}}=6\Rightarrow \mathrm{\mid }D+10\mathrm{\mid }=18$

$D+10=18\Rightarrow D=8D+10=-18\Rightarrow D=-28$



El plano que equidista de $A$ y $B$ es $\pi :x+2y+2z-10=0$, y los que distan de él 6 unidades son ${\pi }_1:x+2y+2z-28=0$ y ${\pi }_2:x+2y+2z+8=0$, uno a cada lado.