Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2023

Sean $P(1,5,-1)$ y la recta $r\equiv {\displaystyle \frac{x-1}{2}}={\displaystyle \frac{y-2}{1}}={\displaystyle \frac{z+4}{2}}$.

a) Calcule el punto $Q\in r$ tal que la distancia de $P$ a $Q$ sea mínima. [1,25 puntos]

b) Halle los puntos $Q_1$ y $Q_2$ pertenecientes a $r$ tales que $d(P,Q_1)=d(P,Q_2)=3\sqrt{2}$. [1,25 puntos]

De la ecuación de la recta leemos un punto y un director:

$r:\{A(1,2,-4),{\vec{v}}_r=(2,1,2)\}\mid {\vec{v}}_r\mid =\sqrt{4+1+4}=3$

Un punto genérico de $r$ es $X(1+2k,2+k,-4+2k)$.



La distancia de un punto a una recta se mide en perpendicular, así que el punto buscado es el pie de la perpendicular trazada desde $P$.



$\overrightarrow{PX}=(1+2k-1,2+k-5,-4+2k+1)=(2k,k-3,2k-3)$

Imponemos que sea perpendicular al director:

$\overrightarrow{PX}\cdot {\vec{v}}_r=2(2k)+(k-3)+2(2k-3)=4k+k-3+4k-6=9k-9=0\Rightarrow k=1$

$k=1\Rightarrow Q(3,3,-2)$

$d(P,Q)=\mid (2,-2,-1)\mid =\sqrt{4+4+1}=3$

El punto de $r$ más próximo a $P$ es $Q(3,3,-2)$, y la distancia mínima es de 3 unidades.



Imponemos ahora la condición sobre el punto genérico:

${\mid \overrightarrow{PX}\mid }^2={\left(2k\right)}^2+{(k-3)}^2+{(2k-3)}^2={\left(3\sqrt{2}\right)}^2=18$

$4k^2+k^2-6k+9+4k^2-12k+9=18\Rightarrow 9k^2-18k=0\Rightarrow 9k(k-2)=0$

$\{\begin{array}{l}k=0\\ k=2\end{array}$

$k=0\Rightarrow Q_1(1,2,-4)k=2\Rightarrow Q_2(5,4,0)$

Los dos son simétricos respecto del pie $Q$, como era de esperar: el triángulo rectángulo de catetos $d(P,Q)=3$ y $\overline{Q{Q}_i}$ tiene hipotenusa $3\sqrt{2}$, luego $\overline{Q{Q}_i}=\sqrt{18-9}=3$ a cada lado.

Los puntos pedidos son $Q_1(1,2,-4)$ y $Q_2(5,4,0)$.