Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2022

Calcule la ecuación continua de la recta que pasa por el punto $T\equiv (1,-5,3)$ y corta a las siguientes rectas:

$r\equiv \{\begin{array}{l}-x-y-z+3=0\\ 3x+z-10=0\end{array}$ y $s\equiv {\displaystyle \frac{x}{-2}}={\displaystyle \frac{y+1}{-1}}={\displaystyle \frac{z-2}{1}}$ [2,5 puntos]

Escribimos $r$ en paramétricas. De la segunda ecuación, $z=10-3x$, y sustituyendo en la primera, $-x-y-10+3x+3=0\Rightarrow y=2x-7$. Tomando $x=3-\lambda$,

$r\equiv \{\begin{array}{l}x=3-\lambda \\ y=-1-2\lambda \\ z=1+3\lambda \end{array}\Rightarrow R(3,-1,1),{\vec{v}}_r=(-1,-2,3)$

De $s$ leemos $S(0,-1,2)$ y ${\vec{v}}_s=(-2,-1,1)$.



Las dos rectas se cruzan —el producto mixto $[{\vec{v}}_r,{\vec{v}}_s,\overrightarrow{RS}]$ vale $-6\mathrm{\ne }0$—, así que la recta buscada es única: está a la vez en el plano que $T$ determina con $r$ y en el que determina con $s$.

i) Plano ${\pi }_1$ que contiene a $T$ y a $r$. Con $\overrightarrow{TR}=(2,4,-2)$,

${\vec{n}}_1={\vec{v}}_r\times \overrightarrow{TR}=\mid \begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ -1& -2& 3\\ 2& 4& -2\end{array}\mid =(-8,4,0)\parallel (2,-1,0)$

${\pi }_1:2(x-1)-(y+5)=0\Rightarrow {\pi }_1:2x-y-7=0$

ii) Plano ${\pi }_2$ que contiene a $T$ y a $s$. Con $\overrightarrow{TS}=(-1,4,-1)$,

${\vec{n}}_2={\vec{v}}_s\times \overrightarrow{TS}=\mid \begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ -2& -1& 1\\ -1& 4& -1\end{array}\mid =(-3,-3,-9)\parallel (1,1,3)$

${\pi }_2:(x-1)+(y+5)+3(z-3)=0\Rightarrow {\pi }_2:x+y+3z-5=0$

iii) El director de la recta es perpendicular a las dos normales:

${\vec{v}}_t={\vec{n}}_1\times {\vec{n}}_2=\mid \begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ 2& -1& 0\\ 1& 1& 3\end{array}\mid =(-3,-6,3)\parallel (1,2,-1)$

$t\equiv {\displaystyle \frac{x-1}{1}}={\displaystyle \frac{y+5}{2}}={\displaystyle \frac{z-3}{-1}}$

Comprobamos los cortes: el punto de $t$ de parámetro $2$ es $A(3,-1,1)$, que es el propio $R\in r$, y el de parámetro $3$ es $B(4,1,0)$, que pertenece a $s$ porque

${\displaystyle \frac{4}{-2}}={\displaystyle \frac{1+1}{-1}}={\displaystyle \frac{0-2}{1}}=-2$

La recta pedida es $t\equiv {\displaystyle \frac{x-1}{1}}={\displaystyle \frac{y+5}{2}}={\displaystyle \frac{z-3}{-1}}$, que corta a $r$ en $A(3,-1,1)$ y a $s$ en $B(4,1,0)$.