Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2022

Calcule la ecuación continua de la recta que pasa por el punto $P\equiv (1,2,-1)$, es paralela al plano $\pi \equiv 2x-y+z=0$ y corta a la recta:

$r\equiv \{\begin{array}{l}x-y+2z+2=0\\ 3x-y-z-3=0\end{array}$ [2,5 puntos]

La recta buscada pasa por $P$ y es paralela a $\pi$, luego está contenida en el plano $\sigma$ que pasa por $P$ y es paralelo a $\pi$. Y como además corta a $r$, tiene que hacerlo justo donde $r$ atraviesa ese plano. Ese es el camino.

i) Plano $\sigma$. Al ser paralelo a $\pi$ comparte su normal, $\vec{n}=(2,-1,1)$, y pasa por $P(1,2,-1)$:

$\sigma :2(x-1)-(y-2)+(z+1)=0\Rightarrow \sigma :2x-y+z+1=0$



ii) Escribimos $r$ en paramétricas. Su director es el producto vectorial de las normales de los dos planos que la definen:

${\vec{v}}_r=\mid \begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ 1& -1& 2\\ 3& -1& -1\end{array}\mid =(3,7,2)$

Un punto se obtiene haciendo $z=0$:

$\{\begin{array}{l}x-y+2=0\\ 3x-y-3=0\end{array}\Rightarrow y=x+2\Rightarrow 3x-x-2-3=0\Rightarrow x={\displaystyle \frac{5}{2}},y={\displaystyle \frac{9}{2}}$

$r\equiv ({\displaystyle \frac{5}{2}}+3\lambda ,{\displaystyle \frac{9}{2}}+7\lambda ,2\lambda )$

iii) Cortamos $r$ con $\sigma$:

$2({\displaystyle \frac{5}{2}}+3\lambda )-({\displaystyle \frac{9}{2}}+7\lambda )+2\lambda +1=0$

$5+6\lambda -{\displaystyle \frac{9}{2}}-7\lambda +2\lambda +1=0\Rightarrow \lambda +{\displaystyle \frac{3}{2}}=0\Rightarrow \lambda =-{\displaystyle \frac{3}{2}}$

$\lambda =-{\displaystyle \frac{3}{2}}\Rightarrow Q({\displaystyle \frac{5}{2}}-{\displaystyle \frac{9}{2}},{\displaystyle \frac{9}{2}}-{\displaystyle \frac{21}{2}},-3)=Q(-2,-6,-3)$

iv) La recta pedida es la que une $P$ con $Q$:

$\overrightarrow{PQ}=(-2-1,-6-2,-3+1)=(-3,-8,-2)\parallel (3,8,2)$

$t\equiv {\displaystyle \frac{x-1}{3}}={\displaystyle \frac{y-2}{8}}={\displaystyle \frac{z+1}{2}}$

Comprobamos el paralelismo con $\pi$, que exige que el director sea perpendicular a la normal:

$\overrightarrow{PQ}\cdot \vec{n}=(-3)(2)+(-8)(-1)+(-2)(1)=-6+8-2=0$

y además $P\mathrm{\notin }\pi$, porque $2\cdot 1-2+(-1)=-1\mathrm{\ne }0$, de modo que la recta es efectivamente paralela al plano y no está contenida en él.

La recta pedida es $t\equiv {\displaystyle \frac{x-1}{3}}={\displaystyle \frac{y-2}{8}}={\displaystyle \frac{z+1}{2}}$, y corta a $r$ en $Q(-2,-6,-3)$.