Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2021

Halle un plano que sea tangente a la esfera de radio 3 y centro $(0,0,0)$, y que corte perpendicularmente a la recta

$r\equiv {\displaystyle \frac{x-3}{2}}={\displaystyle \frac{y-4}{1}}={\displaystyle \frac{z+4}{-2}}$

Encuentre el punto de tangencia del plano con la esfera, y calcule la ecuación continua de la recta que pasa por ese punto y corta perpendicularmente a $r$. [2,5 puntos]

De la recta leemos un punto y un director:

$r:\{R(3,4,-4),{\vec{v}}_r=(2,1,-2)\}\mid {\vec{v}}_r\mid =\sqrt{4+1+4}=3$



i) El plano ha de cortar perpendicularmente a $r$, luego el director de la recta es su vector normal:

$\pi :2x+y-2z+D=0$

ii) La tangencia a la esfera significa que la distancia del centro al plano es igual al radio. Con $O(0,0,0)$ y $R=3$,

$d(O,\pi )={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }D\mathrm{\mid }}{\sqrt{4+1+4}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }D\mathrm{\mid }}{3}}=3\Rightarrow \mathrm{\mid }D\mathrm{\mid }=9\Rightarrow \{\begin{array}{l}D=9\\ D=-9\end{array}$

Hay dos planos tangentes, uno a cada lado de la esfera. Tomamos, por ejemplo,

$\pi :2x+y-2z-9=0$

iii) El punto de tangencia es el pie de la perpendicular al plano por el centro, es decir, el punto de la esfera que está sobre la recta que pasa por $O$ con dirección $\vec{n}=(2,1,-2)$:

$X(2k,k,-2k)\Rightarrow 2(2k)+k-2(-2k)-9=0\Rightarrow 9k=9\Rightarrow k=1$

$T(2,1,-2)$

Se comprueba que está en la esfera: $\mathrm{\mid }OT\mathrm{\mid }=\sqrt{4+1+4}=3$.

iv) Por último, la recta que pasa por $T$ y corta perpendicularmente a $r$. Como $\pi$ es perpendicular a $r$, toda recta contenida en $\pi$ es ya perpendicular a $r$; basta, pues, unir $T$ con el punto en que $r$ atraviesa el plano.

$2(3+2k)+(4+k)-2(-4-2k)-9=0\Rightarrow 6+4k+4+k+8+4k-9=0\Rightarrow 9k+9=0\Rightarrow k=-1$

$k=-1\Rightarrow P(1,3,-2)$

${\vec{v}}_t=\overrightarrow{TP}=(1,3,-2)-(2,1,-2)=(-1,2,0)\parallel (1,-2,0)$

Comprobamos la perpendicularidad: $\overrightarrow{TP}\cdot {\vec{v}}_r=-2+2+0=0$.

$t\equiv {\displaystyle \frac{x-2}{1}}={\displaystyle \frac{y-1}{-2}}={\displaystyle \frac{z+2}{0}}$

o, escrita sin denominadores nulos, $t\equiv \{z=-2,{\displaystyle \frac{x-2}{1}}={\displaystyle \frac{y-1}{-2}}\}$.

Un plano tangente que corta perpendicularmente a $r$ es $\pi :2x+y-2z-9=0$; el punto de tangencia es $T(2,1,-2)$, y la recta pedida, $t\equiv {\displaystyle \frac{x-2}{1}}={\displaystyle \frac{y-1}{-2}}={\displaystyle \frac{z+2}{0}}$, que corta a $r$ en $P(1,3,-2)$. (El otro plano tangente, $2x+y-2z+9=0$, da la solución simétrica respecto del origen.)