Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2021

Calcule la ecuación continua de la recta que corta perpendicularmente a las siguientes rectas:

$r\equiv \{\begin{array}{l}2y+z=0\\ x+y=0\end{array}$ y $s\equiv {\displaystyle \frac{x-6}{-1}}={\displaystyle \frac{y-6}{5}}={\displaystyle \frac{z-2}{2}}$ [2,5 puntos]

Escribimos $r$ en paramétricas. De la segunda ecuación, $x=-y$, y de la primera, $z=-2y$. Tomando $y=-\lambda$,

$r\equiv \{\begin{array}{l}x=\lambda \\ y=-\lambda \\ z=2\lambda \end{array}\Rightarrow R(0,0,0),{\vec{v}}_r=(1,-1,2)$

De $s$ leemos $S(6,6,2)$ y ${\vec{v}}_s=(-1,5,2)$.

Las dos rectas se cruzan, porque los directores no son proporcionales y el producto mixto no se anula:

$[{\vec{v}}_r,{\vec{v}}_s,\overrightarrow{RS}]=\mid \begin{array}{ccc}1& -1& 2\\ -1& 5& 2\\ 6& 6& 2\end{array}\mid =88\mathrm{\ne }0$



i) El director de la perpendicular común es el producto vectorial de los dos:

${\vec{v}}_t={\vec{v}}_r\times {\vec{v}}_s=\mid \begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ 1& -1& 2\\ -1& 5& 2\end{array}\mid =(-12,-4,4)\parallel (3,1,-1)$

ii) Buscamos los pies. Con los puntos genéricos

$P(\lambda ,-\lambda ,2\lambda )\in rQ(6-\mu ,6+5\mu ,2+2\mu )\in s$

$\overrightarrow{PQ}=(6-\mu -\lambda ,6+5\mu +\lambda ,2+2\mu -2\lambda )$

imponemos que sea perpendicular a los dos directores:

$\overrightarrow{PQ}\cdot {\vec{v}}_r=(6-\mu -\lambda )-(6+5\mu +\lambda )+2(2+2\mu -2\lambda )=4-2\mu -6\lambda =0$

$\overrightarrow{PQ}\cdot {\vec{v}}_s=-(6-\mu -\lambda )+5(6+5\mu +\lambda )+2(2+2\mu -2\lambda )=28+30\mu +2\lambda =0$

$\{\begin{array}{l}3\lambda +\mu =2\\ \lambda +15\mu =-14\end{array}$

De la primera, $\mu =2-3\lambda$; sustituyendo en la segunda, $\lambda +30-45\lambda =-14\Rightarrow -44\lambda =-44\Rightarrow \lambda =1$, y por tanto $\mu =-1$.

iii) Sustituyendo cada parámetro en su recta:

$\lambda =1\Rightarrow P(1,-1,2)\mu =-1\Rightarrow Q(7,1,0)$

$\overrightarrow{PQ}=(6,2,-2)\parallel (3,1,-1)$, que es efectivamente proporcional al director hallado, y se comprueba la perpendicularidad:

$\overrightarrow{PQ}\cdot {\vec{v}}_r=6-2-4=0\overrightarrow{PQ}\cdot {\vec{v}}_s=-6+10-4=0$

Escribimos la recta por $P$ con el director hallado:

$t\equiv {\displaystyle \frac{x-1}{3}}={\displaystyle \frac{y+1}{1}}={\displaystyle \frac{z-2}{-1}}$

La recta que corta perpendicularmente a $r$ y a $s$ es $t\equiv {\displaystyle \frac{x-1}{3}}={\displaystyle \frac{y+1}{1}}={\displaystyle \frac{z-2}{-1}}$, y las corta en $P(1,-1,2)$ y $Q(7,1,0)$; la distancia entre las dos rectas es $\mid \overrightarrow{PQ}\mid =2\sqrt{11}$ unidades.