Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2021

Encuentre la ecuación general del plano $\pi$ que es paralelo a las rectas

$r\equiv \{\begin{array}{l}x+2y+z+3=0\\ x+6y-z-7=0\end{array}$ y $s\equiv {\displaystyle \frac{x-3}{3}}={\displaystyle \frac{y+2}{3}}={\displaystyle \frac{z+2}{1}}$

y equidista de ambas. [2,5 puntos]

El plano ha de ser paralelo a las dos rectas, luego su vector normal es perpendicular a los dos directores.

De $r$, dada como intersección de dos planos, el director es el producto vectorial de las dos normales:

${\vec{v}}_r=\mid \begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ 1& 2& 1\\ 1& 6& -1\end{array}\mid =(-8,2,4)\parallel (-4,1,2)$

De $s$ leemos $S(3,-2,-2)$ y ${\vec{v}}_s=(3,3,1)$. Los dos directores no son proporcionales, así que el plano buscado existe.

$\vec{n}={\vec{v}}_r\times {\vec{v}}_s=\mid \begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ -4& 1& 2\\ 3& 3& 1\end{array}\mid =(-5,10,-15)\parallel (1,-2,3)$

El plano es, pues, de la forma

$\pi :x-2y+3z+D=0\mid \vec{n}\mid =\sqrt{1+4+9}=\sqrt{14}$

Necesitamos un punto de cada recta. Para $r$, haciendo $z=0$:

$\{\begin{array}{l}x+2y+3=0\\ x+6y-7=0\end{array}\Rightarrow 4y=10\Rightarrow y={\displaystyle \frac{5}{2}},x=-8$

$R(-8,{\displaystyle \frac{5}{2}},0)$

Imponemos que las dos distancias coincidan. Como cada recta es paralela al plano, su distancia es la de cualquiera de sus puntos:

$d(r,\pi )={\displaystyle \frac{\mid -8-5+0+D\mid }{\sqrt{14}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }D-13\mathrm{\mid }}{\sqrt{14}}}d(s,\pi )={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }3+4-6+D\mathrm{\mid }}{\sqrt{14}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }D+1\mathrm{\mid }}{\sqrt{14}}}$

$\mathrm{\mid }D-13\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }D+1\mathrm{\mid }$

La igualdad $D-13=D+1$ es imposible, así que ha de ser

$D-13=-(D+1)\Rightarrow 2D=12\Rightarrow D=6$



Comprobamos el resultado. El plano es paralelo a las dos rectas, porque su normal es perpendicular a los dos directores,

$\vec{n}\cdot {\vec{v}}_r=-4-2+6=0\vec{n}\cdot {\vec{v}}_s=3-6+3=0$

y equidista de ellas:

$d(r,\pi )={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }6-13\mathrm{\mid }}{\sqrt{14}}}={\displaystyle \frac{7}{\sqrt{14}}}={\displaystyle \frac{\sqrt{14}}{2}}d(s,\pi )={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }6+1\mathrm{\mid }}{\sqrt{14}}}={\displaystyle \frac{\sqrt{14}}{2}}$

Además $D-13=-7<0$ y $D+1=7>0$, de modo que las dos rectas quedan a un lado y a otro: el plano pasa entre ellas.

La ecuación general del plano pedido es $\pi :x-2y+3z+6=0$.