Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2023

Halle la ecuación continua de la recta que pasa por el punto $P(-3,-2,3)$ y que corta a las rectas $r$ y $s$, siendo

$r\equiv \{\begin{array}{l}x+y-z-1=0\\ x-y+2z+1=0\end{array}$ y $s\equiv {\displaystyle \frac{x-3}{-1}}={\displaystyle \frac{y+5}{2}}={\displaystyle \frac{z+3}{1}}$ [2,5 puntos]

Escribimos $r$ en paramétricas. Sumando sus dos ecuaciones se obtiene $2x+z=0\Rightarrow x=-\frac{z}{2}$, y de la primera $y=1-x+z=1+\frac{3z}{2}$. Tomando $z=-2\lambda$,

$r\equiv \{\begin{array}{l}x=\lambda \\ y=1-3\lambda \\ z=-2\lambda \end{array}\Rightarrow R(0,1,0),{\vec{v}}_r=(1,-3,-2)$

De $s$ leemos $S(3,-5,-3)$ y ${\vec{v}}_s=(-1,2,1)$.

Antes de plantear nada estudiamos la posición relativa de las dos rectas. El punto $R(0,1,0)$ de $r$, ¿pertenece a $s$?

${\displaystyle \frac{0-3}{-1}}=3,{\displaystyle \frac{1+5}{2}}=3,{\displaystyle \frac{0+3}{1}}=3$

Los tres cocientes coinciden, así que $R$ está también en $s$: las dos rectas se cortan en $I(0,1,0)$.



Al ser secantes, $r$ y $s$ determinan un plano $\pi$, y toda recta que corte a las dos o pasa por $I$ o está contenida en $\pi$. Comprobamos que $P$ no está en ese plano, con lo que la solución será única. Un vector normal es

$\vec{n}={\vec{v}}_r\times {\vec{v}}_s=\mid \begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ 1& -3& -2\\ -1& 2& 1\end{array}\mid =(1,1,-1)$

$\pi :(x-0)+(y-1)-(z-0)=0\Rightarrow \pi :x+y-z-1=0$

$P(-3,-2,3):-3-2-3-1=-9\mathrm{\ne }0\Rightarrow P\mathrm{\notin }\pi$

Por tanto la recta buscada es la que une $P$ con el punto común $I$:

${\vec{v}}_t=\overrightarrow{PI}=(0,1,0)-(-3,-2,3)=(3,3,-3)\parallel (1,1,-1)$

$t\equiv {\displaystyle \frac{x+3}{1}}={\displaystyle \frac{y+2}{1}}={\displaystyle \frac{z-3}{-1}}$

Obsérvese que su director coincide con $\vec{n}$: la recta pedida resulta ser, además, perpendicular al plano que determinan $r$ y $s$.

La recta pedida es $t\equiv {\displaystyle \frac{x+3}{1}}={\displaystyle \frac{y+2}{1}}={\displaystyle \frac{z-3}{-1}}$, que corta a $r$ y a $s$ en su punto común $I(0,1,0)$.