Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2024

Los puntos $A(4,-2,-3)$, $B(2,-1,1)$ y $C(0,-3,-1)$ son vértices de un rombo.

a) Encuentre el cuarto vértice del rombo. [1,75 puntos]

b) Calcule el área del rombo. [0,75 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Encuentre}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{cuarto}}\mathbf{\text{v}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{rtice}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{rombo.}}$

Lo primero es averiguar cuáles de los tres puntos dados son consecutivos, porque en un rombo los cuatro lados miden lo mismo. Calculamos las tres distancias:

$\mid \overrightarrow{AB}\mid =\mathrm{\mid }(-2,1,4)\mathrm{\mid }=\sqrt{4+1+16}=\sqrt{21}$

$\mid \overrightarrow{AC}\mid =\mathrm{\mid }(-4,-1,2)\mathrm{\mid }=\sqrt{16+1+4}=\sqrt{21}$

$\mid \overrightarrow{BC}\mid =\mathrm{\mid }(-2,-2,-2)\mathrm{\mid }=\sqrt{4+4+4}=2\sqrt{3}$

Los dos segmentos que salen de $A$ miden lo mismo, así que $A$ es el vértice común a dos lados y $\overline{BC}$ es una diagonal: el rombo es $BACD$, con $D$ opuesto a $A$.



En un rombo, como en cualquier paralelogramo, los lados opuestos son equipolentes:

$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}\Rightarrow D=C+\overrightarrow{AB}=(0,-3,-1)+(-2,1,4)=(-2,-2,3)$

Comprobamos que los cuatro lados son iguales:

$\mid \overrightarrow{BD}\mid =\mathrm{\mid }(-4,-1,2)\mathrm{\mid }=\sqrt{21}\mid \overrightarrow{CD}\mid =\mathrm{\mid }(-2,1,4)\mathrm{\mid }=\sqrt{21}$

El cuarto vértice es $D(-2,-2,3)$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{el}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{rea}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{rombo.}}$

El área de un paralelogramo es el módulo del producto vectorial de dos lados concurrentes. Tomamos los que salen de $A$:

$\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}=\mid \begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ -2& 1& 4\\ -4& -1& 2\end{array}\mid =(2+4)\vec{i}-(-4+16)\vec{j}+(2+4)\vec{k}=(6,-12,6)$

$S=\mid \overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}\mid =\sqrt{36+144+36}=\sqrt{216}=6\sqrt{6}\approx \mathrm{14,70}{\text{u}}^2$

Se llega al mismo resultado por la fórmula propia del rombo, la mitad del producto de las diagonales, que son $\overline{AD}$ y $\overline{BC}$:

$\overrightarrow{AD}=(-6,0,6),\mid \overrightarrow{AD}\mid =6\sqrt{2}\mid \overrightarrow{BC}\mid =2\sqrt{3}\overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{BC}=12+0-12=0$

$S={\displaystyle \frac{6\sqrt{2}\cdot 2\sqrt{3}}{2}}=6\sqrt{6}{\text{u}}^2$

—el producto escalar nulo confirma, además, que las diagonales son perpendiculares, como corresponde a un rombo—.

El área del rombo es de $6\sqrt{6}\approx \mathrm{14,70}$ unidades cuadradas.