Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2023

Calcule la ecuación continua de la recta perpendicular a $r$ y $s$ que corta a ambas, siendo

$r\equiv \{\begin{array}{l}x-y-z+2=0\\ x-3y+3z-8=0\end{array}$ y $s\equiv {\displaystyle \frac{x-2}{3}}={\displaystyle \frac{y+5}{-4}}={\displaystyle \frac{z}{-2}}$ [2,5 puntos]

Escribimos primero la recta $r$ en paramétricas. Restando las dos ecuaciones que la definen se obtiene $2y-4z+10=0\Rightarrow y=2z-5$, y sustituyendo en la primera, $x=y+z-2=3z-7$. Con $z=\lambda$,

$r\equiv \{\begin{array}{l}x=-7+3\lambda \\ y=-5+2\lambda \\ z=\lambda \end{array}\Rightarrow R(-7,-5,0),{\vec{v}}_r=(3,2,1)$

De $s$ leemos $S(2,-5,0)$ y ${\vec{v}}_s=(3,-4,-2)$.

Antes de nada conviene ver cómo están situadas las dos rectas, porque los directores no son proporcionales pero eso no basta para asegurar que se crucen. Igualamos los puntos genéricos:

$\{\begin{array}{l}-7+3\lambda =2+3\mu \\ -5+2\lambda =-5-4\mu \\ \lambda =-2\mu \end{array}$

Las dos últimas dan la misma condición, $\lambda =-2\mu$, y llevándola a la primera, $-7-6\mu =2+3\mu \Rightarrow \mu =-1$ y $\lambda =2$. El sistema es compatible, de modo que las rectas se cortan en el punto

$I(-7+6,-5+4,2)=I(-1,-1,2)$



Al ser secantes, $r$ y $s$ determinan un plano, y la recta que es perpendicular a las dos y las corta no puede ser otra que la perpendicular a ese plano por el punto común. Su director es, por tanto, el producto vectorial de los dos directores:

${\vec{v}}_t={\vec{v}}_r\times {\vec{v}}_s=\mid \begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ 3& 2& 1\\ 3& -4& -2\end{array}\mid =(0,9,-18)\parallel (0,1,-2)$

Escribimos la recta que pasa por $I(-1,-1,2)$ con ese director:

$t\equiv {\displaystyle \frac{x+1}{0}}={\displaystyle \frac{y+1}{1}}={\displaystyle \frac{z-2}{-2}}$

Como la primera componente del director es nula, la recta está contenida en el plano $x=-1$; escrita sin denominadores nulos,

$t\equiv \{\begin{array}{l}x=-1\\ {\displaystyle \frac{y+1}{1}}={\displaystyle \frac{z-2}{-2}}\end{array}$

La recta perpendicular a $r$ y a $s$ que corta a las dos es $t\equiv {\displaystyle \frac{x+1}{0}}={\displaystyle \frac{y+1}{1}}={\displaystyle \frac{z-2}{-2}}$, y las corta a las dos en el mismo punto, $I(-1,-1,2)$, porque las rectas dadas son secantes.