Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2024

Se consideran el plano $\pi \equiv 2x+y-z-5=0$, la recta $r\equiv \{\begin{array}{l}x+2z+3=0\\ -x-y+z+4=0\end{array}$ y los puntos $A(3,2,-1)$ y $B(1,1,-1)$. Sea $C$ la intersección entre la recta y el plano.

a) Demuestre que los puntos $A$, $B$ y $C$ no están alineados. [1,25 puntos]

b) Calcule el área del triángulo que conforman los tres puntos. [1,25 puntos]

Empezamos por hallar $C$. Escribimos la recta en paramétricas: de la primera ecuación, $x=-2z-3$, y sustituyendo en la segunda, $2z+3-y+z+4=0\Rightarrow y=3z+7$. Con $z=t$,

$r\equiv \{\begin{array}{l}x=-3-2t\\ y=7+3t\\ z=t\end{array}t\in \mathbb{R}$

Imponemos que ese punto pertenezca al plano:

$2(-3-2t)+(7+3t)-t-5=0\Rightarrow -6-4t+7+3t-t-5=0\Rightarrow -2t-4=0\Rightarrow t=-2$

$t=-2\Rightarrow C(1,1,-2)$

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Demuestre}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{puntos}}\mathit{A}\mathbf{\text{,}}\mathit{B}\mathbf{\text{y}}\mathit{C}\mathbf{\text{no}}\mathbf{\text{est}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{alineados.}}$

Tres puntos están alineados si los vectores que los unen son proporcionales, es decir, si su producto vectorial es el vector nulo.

$\overrightarrow{AB}=(1,1,-1)-(3,2,-1)=(-2,-1,0)\overrightarrow{AC}=(1,1,-2)-(3,2,-1)=(-2,-1,-1)$

$\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}=\mid \begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ -2& -1& 0\\ -2& -1& -1\end{array}\mid =(1,-2,0)$

Como el producto vectorial no es nulo, los dos vectores no son proporcionales —se ve también a simple vista: las dos primeras componentes coinciden y las terceras no— y los tres puntos no están alineados.



$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{el}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{rea}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{tri}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ngulo}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{conforman}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{tres}}\mathbf{\text{puntos.}}$

El área del triángulo es la mitad del módulo del producto vectorial que ya hemos calculado:

$S={\displaystyle \frac{\mid \overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}\mid }{2}}={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }(1,-2,0)\mathrm{\mid }}{2}}={\displaystyle \frac{\sqrt{1+4+0}}{2}}={\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{2}}\approx \mathrm{1,118}{\text{u}}^2$

El área del triángulo $ABC$ es de ${\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{2}}\approx \mathrm{1,118}$ unidades cuadradas.