Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2024

El punto $P(4,5,0)$ es el punto medio de un lado de un cuadrado. El lado paralelo al anterior está contenido en la recta de ecuación $r\equiv \{\begin{array}{l}2x+2y+z=0\\ 2x-z-2=0\end{array}$. Calcule los dos vértices que determinan este segundo lado. [2,5 puntos]

Escribimos primero la recta en paramétricas. De la segunda ecuación, $z=2x-2$, y llevándolo a la primera, $2x+2y+2x-2=0\Rightarrow y=1-2x$. Tomando $x=1+\lambda$,

$r\equiv \{\begin{array}{l}x=1+\lambda \\ y=-1-2\lambda \\ z=2\lambda \end{array}\Rightarrow R(1,-1,0),{\vec{v}}_r=(1,-2,2)$



Como los dos lados son paralelos y $P$ es el punto medio de uno de ellos, la distancia de $P$ a la recta $r$ es exactamente el lado del cuadrado, y el pie $M$ de esa perpendicular es el punto medio del lado opuesto.

i) Calculamos $M$. Un punto genérico de $r$ es $X(1+\lambda ,-1-2\lambda ,2\lambda )$, y

$\overrightarrow{PX}=(-3+\lambda ,-6-2\lambda ,2\lambda )$

Imponemos que sea perpendicular al director:

$\overrightarrow{PX}\cdot {\vec{v}}_r=(-3+\lambda )+(-2)(-6-2\lambda )+2(2\lambda )=-3+\lambda +12+4\lambda +4\lambda =9+9\lambda =0\Rightarrow \lambda =-1$

$\lambda =-1\Rightarrow M(0,1,-2)$

ii) El lado del cuadrado es la distancia $\overline{PM}$:

$\overrightarrow{PM}=(0,1,-2)-(4,5,0)=(-4,-4,-2)\Rightarrow L=\mid \overrightarrow{PM}\mid =\sqrt{16+16+4}=\sqrt{36}=6$

iii) Los dos vértices están sobre $r$, a medio lado de $M$ en cada sentido. Normalizamos el director:

$\mid {\vec{v}}_r\mid =\sqrt{1+4+4}=3\Rightarrow \vec{u}={\displaystyle \frac{(1,-2,2)}{3}}$

$V_{1,2}=M\pm {\displaystyle \frac{L}{2}}\vec{u}=(0,1,-2)\pm 3\cdot {\displaystyle \frac{(1,-2,2)}{3}}=(0,1,-2)\pm (1,-2,2)$

$V_1(1,-1,0)V_2(-1,3,-4)$

Comprobamos que los dos están en $r$ —corresponden a $\lambda =0$ y $\lambda =-2$— y que el segmento que determinan mide lo mismo que el lado:

$\mid \overrightarrow{V_2{V}_1}\mid =\mathrm{\mid }(2,-4,4)\mathrm{\mid }=\sqrt{4+16+16}=6$

Los dos vértices que determinan el segundo lado son $V_1(1,-1,0)$ y $V_2(-1,3,-4)$.