Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2025

Calcule la ecuación continua de la recta $t$ que corta perpendicularmente a las rectas $r$ y $s$, siendo: [2,5 puntos]

$r\equiv \{\begin{array}{l}x+y-2z-10=0\\ x+z-3=0\end{array}$ ; $s\equiv {\displaystyle \frac{x-4}{-1}}={\displaystyle \frac{y+1}{1}}={\displaystyle \frac{z}{-1}}$

Escribimos primero la recta $r$ en paramétricas. De la segunda ecuación, $x=3-z$, y sustituyendo en la primera, $(3-z)+y-2z-10=0\Rightarrow y=3z+7$. Tomando $z=\lambda$,

$r\equiv \{\begin{array}{l}x=3-\lambda \\ y=7+3\lambda \\ z=\lambda \end{array}\Rightarrow R(3,7,0),{\vec{v}}_r=(-1,3,1)$

De $s$ leemos directamente $S(4,-1,0)$ y ${\vec{v}}_s=(-1,1,-1)$.



i) La recta $t$ es perpendicular a las dos, así que su director es el producto vectorial de los de $r$ y $s$:

${\vec{v}}_t={\vec{v}}_r\times {\vec{v}}_s=\mid \begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ -1& 3& 1\\ -1& 1& -1\end{array}\mid =(-4,-2,2)\parallel (2,1,-1)$

ii) Buscamos los pies. Un punto genérico de cada recta es

$P(3-\lambda ,7+3\lambda ,\lambda )\in rQ(4-\mu ,-1+\mu ,-\mu )\in s$

$\overrightarrow{PQ}=(1+\lambda -\mu ,-8-3\lambda +\mu ,-\mu -\lambda )$

Imponemos que $\overrightarrow{PQ}$ sea perpendicular a los dos directores:

$\overrightarrow{PQ}\cdot {\vec{v}}_r=-(1+\lambda -\mu )+3(-8-3\lambda +\mu )+(-\lambda -\mu )=-25-11\lambda +3\mu$

$\overrightarrow{PQ}\cdot {\vec{v}}_s=-(1+\lambda -\mu )+(-8-3\lambda +\mu )-(-\lambda -\mu )=-9-3\lambda +3\mu$

$\{\begin{array}{l}11\lambda -3\mu =-25\\ \lambda -\mu =-3\end{array}$

De la segunda, $\mu =\lambda +3$; sustituyendo en la primera, $11\lambda -3\lambda -9=-25\Rightarrow 8\lambda =-16\Rightarrow \lambda =-2$, y por tanto $\mu =1$.

iii) Sustituyendo cada parámetro en su recta:

$\lambda =-2\Rightarrow P(5,1,-2)\mu =1\Rightarrow Q(3,0,-1)$

$\overrightarrow{PQ}=(-2,-1,1)$, que es efectivamente proporcional a $(2,1,-1)$, y se comprueba que $\overrightarrow{PQ}\cdot {\vec{v}}_r=0$ y $\overrightarrow{PQ}\cdot {\vec{v}}_s=0$.

La recta pedida, escrita por el punto $P$, es

$t\equiv {\displaystyle \frac{x-5}{2}}={\displaystyle \frac{y-1}{1}}={\displaystyle \frac{z+2}{-1}}$

La perpendicular común corta a $r$ en $P(5,1,-2)$ y a $s$ en $Q(3,0,-1)$, y la distancia entre las dos rectas es $\mid \overrightarrow{PQ}\mid =\sqrt{6}$ unidades.