Examen de Matemáticas II de Navarra 2026 (convocatoria extraordinaria)

En Navarra, aproximadamente un $\mathrm{1,4}\mathrm{\%}$ de la población es intolerante al gluten. Un test de intolerancia al gluten tiene una sensibilidad del $97\mathrm{\%}$ (es decir, si se aplicase a 100 personas intolerantes al gluten, se espera que 97 darían positivo y 3 negativo). El mismo test tiene una especificidad del $96\mathrm{\%}$ (aplicando el test a 100 personas sin intolerancia, 96 darían negativo y 4 positivo). Elegimos una persona al azar:

a) ¿Cuál es la probabilidad de que el test le dé positivo?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que le dé negativo?

c) ¿Cuál es la probabilidad de que, si le da positivo el test, sea intolerante al gluten?

Sea $y=f(x)$ la función positiva que cumple la ecuación $(x-1{)}^2+y^2=1$.

a) Exprese $y$ en función de $x$ y demuestre que existe un punto $c$ en su dominio tal que $f^{\mathrm{\prime }}(c)=-1$. Enuncie el resultado teórico utilizado, y justifique su uso.

b) ¿Cuánto vale el área comprendida entre la curva $y=f(x)$ y el eje $OX$?

Encuentre la ecuación continua de la recta $t$ que pasa por el punto $A(2,4,-2)$ y corta a las rectas

$s\equiv {\displaystyle \frac{x-2}{-1}}={\displaystyle \frac{y+1}{2}}={\displaystyle \frac{z}{1}}$ y $r\equiv \{\begin{array}{l}x=-1+\lambda \\ y=-2\\ z=1+3\lambda \end{array},\lambda \in \mathbb{R}$.

Estudie el siguiente sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro real $a$ y resuélvalo en los casos en que sea compatible indeterminado:

$\{\begin{array}{l}(a^2-4)x+(a+2)y+2z=4\\ (4-a^2)x+z=2\\ (a^2-4)x+(a+2)y+az=-4\end{array}$

Mencione el resultado teórico empleado y justifique su uso.

Dadas las siguientes matrices $A$ y $B$, calcule $\mathrm{\mid }A\cdot B^{-1}\mathrm{\mid }$ en función del parámetro $t$. ¿Para qué valores de $t$ no existe $\mathrm{\mid }A\cdot B^{-1}\mathrm{\mid }$?

$A=\left(\begin{array}{ccc}t+1& t^2& 2\\ t+1& t^2+t-2& 2-t\\ t+1& t^2& 4\end{array}\right)$ ; $B=\left(\begin{array}{ccc}t& 3t& t^2-1\\ 0& t& 2-t\\ t& 4t& t^2\end{array}\right)$

Calcule la siguiente integral indefinida y el límite:

${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{e^2\cdot e^{\tan (x)}}{4{\cos }^2(x)}}dx}$ ; ${\displaystyle \underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }{\displaystyle \frac{2^x-2}{4^{\frac{x-2}{2x+1}}-1}}}$

Estudie las asíntotas y simetrías de la función $f(x)={\displaystyle \frac{3x^2+2}{x-2}}$.