Ejercicio resuelto de Árboles de decisión · Matemáticas II · 2026

En Navarra, aproximadamente un $\mathrm{1,4}\mathrm{\%}$ de la población es intolerante al gluten. Un test de intolerancia al gluten tiene una sensibilidad del $97\mathrm{\%}$ (es decir, si se aplicase a 100 personas intolerantes al gluten, se espera que 97 darían positivo y 3 negativo). El mismo test tiene una especificidad del $96\mathrm{\%}$ (aplicando el test a 100 personas sin intolerancia, 96 darían negativo y 4 positivo). Elegimos una persona al azar:

a) ¿Cuál es la probabilidad de que el test le dé positivo?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que le dé negativo?

c) ¿Cuál es la probabilidad de que, si le da positivo el test, sea intolerante al gluten?

Nombramos los sucesos:

$I\equiv$ la persona es intolerante al gluten, $+\equiv$ el test da positivo, $-\equiv$ el test da negativo.

Del enunciado leemos la probabilidad inicial y las dos condicionadas que describen el test:

$P(I)=\mathrm{0,014}P(\bar{I})=\mathrm{0,986}$

$P(+\mathrm{\mid }I)=\mathrm{0,97}P(-\mathrm{\mid }I)=\mathrm{0,03}P(-\mathrm{\mid }\bar{I})=\mathrm{0,96}P(+\mathrm{\mid }\bar{I})=\mathrm{0,04}$

El árbol del problema es:



$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{test}}\mathbf{\text{le}}\mathbf{\text{d}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{positivo?}}$

Aplicamos el teorema de la probabilidad total sobre el sistema completo de sucesos $\{I,\bar{I}\}$:

$P(+)=P(I)\cdot P(+\mathrm{\mid }I)+P(\bar{I})\cdot P(+\mathrm{\mid }\bar{I})$

$P(+)=\mathrm{0,014}\cdot \mathrm{0,97}+\mathrm{0,986}\cdot \mathrm{0,04}=\mathrm{0,01358}+\mathrm{0,03944}=\mathrm{0,05302}$

La probabilidad de que el test dé positivo es de $\mathrm{0,05302}$, algo más del $5\mathrm{\%}$ de la población.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{le}}\mathbf{\text{d}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{negativo?}}$

Dar negativo es el suceso contrario de dar positivo:

$P(-)=1-P(+)=1-\mathrm{0,05302}=\mathrm{0,94698}$

La probabilidad de que el test dé negativo es de $\mathrm{0,94698}$.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que,}}\mathbf{\text{si}}\mathbf{\text{le}}\mathbf{\text{da}}\mathbf{\text{positivo}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{test,}}\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{intolerante}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{gluten?}}$

Ahora la condición es el resultado del test y lo que se pregunta es la causa, así que aplicamos el teorema de Bayes:

$P(I\mathrm{\mid }+)={\displaystyle \frac{P(I)\cdot P(+\mathrm{\mid }I)}{P(+)}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,01358}}{\mathrm{0,05302}}}={\displaystyle \frac{679}{2651}}\approx \mathrm{0,2561}$

Solo una de cada cuatro personas que dan positivo es realmente intolerante al gluten: la probabilidad pedida es $\mathrm{0,2561}$. Al ser la enfermedad tan poco frecuente, los falsos positivos del $4\mathrm{\%}$ de los sanos son casi el triple que los positivos verdaderos.