Ejercicio resuelto de Árboles de decisión · Matemáticas II · 2022

Ejercicio A5
Una urna S contiene 5 bolas blancas y 3 negras. Otra urna T, 6 blancas y 4 negras. Elegimos una urna al azar y extraemos dos bolas.

(a) ¿Cuál es la probabilidad de que las dos bolas extraídas sean negras?
(b) Si las dos bolas extraídas son negras, ¿cuál es la probabilidad de que la urna elegida haya sido la T?

La urna $S$ contiene $5$ bolas blancas y $3$ negras, en total $8$; la urna $T$ contiene $6$ blancas y $4$ negras, en total $10$. Al elegir la urna al azar, $P(S)=P(T)=\frac{1}{2}$.

Las dos bolas se extraen de la misma urna y sin devolver la primera, de modo que en la segunda extracción hay una bola menos, y una negra menos si la primera fue negra. Llamando $NN$ al suceso «las dos bolas son negras»:



$\mathbf{\text{(a)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{dos}}\mathbf{\text{bolas}}\mathbf{\text{extra}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{das}}\mathbf{\text{sean}}\mathbf{\text{negras?}}$

Las dos urnas forman un sistema completo de sucesos, así que aplicamos el teorema de la probabilidad total: se suman los productos de las dos ramas que acaban en dos negras.

$P(NN)=P(S)P(NN\mathrm{\mid }S)+P(T)P(NN\mathrm{\mid }T)$

$={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{3}{8}}\cdot {\displaystyle \frac{2}{7}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{4}{10}}\cdot {\displaystyle \frac{3}{9}}$

$={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{3}{28}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{2}{15}}={\displaystyle \frac{3}{56}}+{\displaystyle \frac{1}{15}}$

Reduciendo a común denominador $840$:

$={\displaystyle \frac{45}{840}}+{\displaystyle \frac{56}{840}}={\displaystyle \frac{101}{840}}\approx \mathrm{0,120}$

La probabilidad de que las dos bolas extraídas sean negras es ${\displaystyle \frac{101}{840}}$.

$\mathbf{\text{(b)}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{dos}}\mathbf{\text{bolas}}\mathbf{\text{extra}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{das}}\mathbf{\text{son}}\mathbf{\text{negras,}}\mathbf{\text{¿cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{urna}}\mathbf{\text{elegida}}\mathbf{\text{haya}}\mathbf{\text{sido}}\mathbf{\text{la}}\mathit{T}\mathbf{\text{?}}$

Ahora el dato es el resultado de las extracciones y se pregunta por la urna, es decir, se recorre el árbol en sentido contrario: se aplica el teorema de Bayes.

$P(T\mathrm{\mid }NN)={\displaystyle \frac{P(T)P(NN\mathrm{\mid }T)}{P(NN)}}$

$={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{4}{10}}\cdot {\displaystyle \frac{3}{9}}}{{\displaystyle \frac{101}{840}}}}={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{56}{840}}}{{\displaystyle \frac{101}{840}}}}={\displaystyle \frac{56}{101}}\approx \mathrm{0,554}$

Sabiendo que las dos bolas son negras, la probabilidad de que la urna elegida fuera la $T$ es ${\displaystyle \frac{56}{101}}$, algo más de la mitad: es coherente, porque la urna $T$ tiene mayor proporción de bolas negras.