Ejercicio resuelto de Árboles de decisión · Matemáticas II · 2024

Ejercicio A5
Tenemos dos urnas con bolas de colores. La urna A contiene 3 bolas verdes, 5 bolas rojas y 4 bolas azules. La urna B contiene 2 bolas verdes, 2 bolas rojas y 3 bolas azules. Se saca, al azar, una bola de la urna A y se mete en la urna B. Posteriormente se saca una bola de la urna B.

(a) (0,5 p) Realiza el correspondiente diagrama de árbol.
(b) (0,75 p) Calcula la probabilidad de que la bola extraída de la urna B sea verde.
(c) (0,5 p) Calcula la probabilidad de que la bola extraída de la urna B sea verde sabiendo que la bola extraída de la urna A ha sido roja.
(d) (0,75 p) Sabiendo que la bola extraída de la urna B es verde, calcula la probabilidad de que la bola extraída de la urna A haya sido roja.

$\mathbf{\text{(a)}}\mathbf{\text{(0,5}}\mathbf{\text{p)}}\mathbf{\text{Realiza}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{correspondiente}}\mathbf{\text{diagrama}}\mathbf{\text{de}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{rbol.}}$

La urna A contiene $3+5+4=12$ bolas, de modo que las probabilidades de la primera extracción son $\frac{3}{12}$, $\frac{5}{12}$ y $\frac{4}{12}$. Al pasar esa bola a la urna B, esta queda con $7+1=8$ bolas, y su composición depende del color que haya entrado. Llamamos $V$, $R$ y $Az$ a los colores, con el subíndice $A$ o $B$ según la urna.



$\mathbf{\text{(b)}}\mathbf{\text{(0,75}}\mathbf{\text{p)}}\mathbf{\text{Calcula}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{bola}}\mathbf{\text{extra}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{da}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{urna}}\mathbf{\text{B}}\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{verde.}}$

Los tres colores de la primera extracción forman un sistema completo de sucesos, así que aplicamos el teorema de la probabilidad total: se suman los productos de las ramas que acaban en $V_B$.

$P(V_B)=P(V_A)P(V_B\mathrm{\mid }{V}_A)+P(R_A)P(V_B\mathrm{\mid }{R}_A)+P(A{z}_A)P(V_B\mathrm{\mid }A{z}_A)$

$={\displaystyle \frac{3}{12}}\cdot {\displaystyle \frac{3}{8}}+{\displaystyle \frac{5}{12}}\cdot {\displaystyle \frac{2}{8}}+{\displaystyle \frac{4}{12}}\cdot {\displaystyle \frac{2}{8}}$

$={\displaystyle \frac{1}{4}}\cdot {\displaystyle \frac{3}{8}}+{\displaystyle \frac{5}{12}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{4}}+{\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{4}}={\displaystyle \frac{3}{32}}+{\displaystyle \frac{5}{48}}+{\displaystyle \frac{1}{12}}$

Reduciendo a común denominador $96$:

$={\displaystyle \frac{9}{96}}+{\displaystyle \frac{10}{96}}+{\displaystyle \frac{8}{96}}={\displaystyle \frac{27}{96}}={\displaystyle \frac{9}{32}}$

La probabilidad de que la bola extraída de la urna B sea verde es ${\displaystyle \frac{9}{32}}\approx \mathrm{0,28}$.

$\mathbf{\text{(c)}}\mathbf{\text{(0,5}}\mathbf{\text{p)}}\mathbf{\text{Calcula}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{bola}}\mathbf{\text{extra}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{da}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{urna}}\mathbf{\text{B}}\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{verde}}\mathbf{\text{sabiendo}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{bola}}\mathbf{\text{extra}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{da}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{urna}}\mathbf{\text{A}}\mathbf{\text{ha}}\mathbf{\text{sido}}\mathbf{\text{roja.}}$

Esta probabilidad se lee directamente en el árbol, porque el dato condiciona la primera extracción y la pregunta es sobre la segunda: es la rama que sale de $R_A$ hacia $V_B$. Si de A sale una bola roja, la urna B queda con $2$ verdes sobre $8$ bolas.

$P(V_B\mathrm{\mid }{R}_A)={\displaystyle \frac{2}{8}}={\displaystyle \frac{1}{4}}$

La probabilidad pedida es ${\displaystyle \frac{1}{4}}$.

$\mathbf{\text{(d)}}\mathbf{\text{(0,75}}\mathbf{\text{p)}}\mathbf{\text{Sabiendo}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{bola}}\mathbf{\text{extra}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{da}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{urna}}\mathbf{\text{B}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{verde,}}\mathbf{\text{calcula}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{bola}}\mathbf{\text{extra}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{da}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{urna}}\mathbf{\text{A}}\mathbf{\text{haya}}\mathbf{\text{sido}}\mathbf{\text{roja.}}$

Ahora el dato es el resultado de la segunda extracción y se pregunta por la primera, es decir, se recorre el árbol en sentido contrario: se aplica el teorema de Bayes.

$P(R_A\mathrm{\mid }{V}_B)={\displaystyle \frac{P(R_A)P(V_B\mathrm{\mid }{R}_A)}{P(V_B)}}$

$={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{5}{12}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{4}}}{{\displaystyle \frac{9}{32}}}}={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{5}{48}}}{{\displaystyle \frac{9}{32}}}}={\displaystyle \frac{5}{48}}\cdot {\displaystyle \frac{32}{9}}={\displaystyle \frac{160}{432}}={\displaystyle \frac{10}{27}}$

Sabiendo que la bola extraída de B es verde, la probabilidad de que la extraída de A fuera roja es ${\displaystyle \frac{10}{27}}\approx \mathrm{0,37}$.