Ejercicio resuelto de Árboles de decisión · Matemáticas II · 2025

Se tienen dos urnas con bolas rojas y bolas verdes. En la urna A hay un total de 3 bolas rojas y 2 bolas verdes. En la urna B hay un total de 4 bolas verdes y 2 bolas rojas. [2,5 puntos]

a) Si se sacan al azar dos bolas de la urna A, a la vez, ¿cuál es la probabilidad de que sean dos bolas rojas? [0,5 puntos]

b) Si se saca una sola bola de una urna elegida al azar, ¿cuál es la probabilidad de sacar una bola roja? [0,5 puntos]

c) Si se saca una bola verde de una urna escogida al azar, ¿cuál es la probabilidad de haber elegido la urna A? [1,5 puntos]

Llamamos $A$ y $B$ a los sucesos «se elige esa urna» y $R$ y $V$ a «la bola extraída es roja» y «es verde». La urna A tiene $5$ bolas, tres rojas y dos verdes, y la urna B tiene $6$, dos rojas y cuatro verdes.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{sacan}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{azar}}\mathbf{\text{dos}}\mathbf{\text{bolas}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{urna}}\mathbf{\text{A,}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{vez,}}\mathbf{\text{¿cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{sean}}\mathbf{\text{dos}}\mathbf{\text{bolas}}\mathbf{\text{rojas?}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Sacar dos bolas a la vez equivale a sacarlas una tras otra sin devolver la primera, así que la probabilidad es el producto de la de la primera extracción por la de la segunda condicionada a ella. En la urna A hay tres rojas de un total de cinco bolas.

$P(2\text{ rojas})={\displaystyle \frac{3}{5}}\cdot {\displaystyle \frac{2}{4}}={\displaystyle \frac{6}{20}}={\displaystyle \frac{3}{10}}=\mathrm{0,3}$

La probabilidad de sacar dos bolas rojas de la urna A es $\frac{3}{10}$, es decir, $\mathrm{0,3}$. El mismo resultado se obtiene contando casos: $\left(\genfrac{}{}{0px}{}{3}{2}\right)=3$ parejas favorables entre las $\left(\genfrac{}{}{0px}{}{5}{2}\right)=10$ posibles.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{saca}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{sola}}\mathbf{\text{bola}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{urna}}\mathbf{\text{elegida}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{azar,}}\mathbf{\text{¿cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{sacar}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{bola}}\mathbf{\text{roja?}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Ahora hay dos etapas: primero se elige la urna, con probabilidad $\frac{1}{2}$ cada una porque la elección es al azar, y después se extrae la bola. El árbol del experimento es este.



Como las dos urnas forman un sistema completo de sucesos, sumamos las dos ramas que acaban en $R$. Es el teorema de la probabilidad total.

$P(R)=P(A)P(R\mathrm{/}A)+P(B)P(R\mathrm{/}B)={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{3}{5}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{2}{6}}$

$P(R)={\displaystyle \frac{3}{10}}+{\displaystyle \frac{1}{6}}={\displaystyle \frac{9}{30}}+{\displaystyle \frac{5}{30}}={\displaystyle \frac{14}{30}}={\displaystyle \frac{7}{15}}\approx \mathrm{0,4667}$

La probabilidad de sacar una bola roja es $\frac{7}{15}$, algo menos de la mitad.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{saca}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{bola}}\mathbf{\text{verde}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{urna}}\mathbf{\text{escogida}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{azar,}}\mathbf{\text{¿cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{haber}}\mathbf{\text{elegido}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{urna}}\mathbf{\text{A?}}\mathbf{\text{[1,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Se conoce el resultado del experimento y se pregunta por la etapa anterior, así que aplicamos el teorema de Bayes. Necesitamos primero la probabilidad total de sacar bola verde, que es la contraria de la del apartado anterior.

$P(V)=1-P(R)=1-{\displaystyle \frac{7}{15}}={\displaystyle \frac{8}{15}}$

$P(A\mathrm{/}V)={\displaystyle \frac{P(A)P(V\mathrm{/}A)}{P(V)}}={\displaystyle \frac{\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{5}}{\frac{8}{15}}}={\displaystyle \frac{\frac{1}{5}}{\frac{8}{15}}}$

$P(A\mathrm{/}V)={\displaystyle \frac{1}{5}}\cdot {\displaystyle \frac{15}{8}}={\displaystyle \frac{15}{40}}={\displaystyle \frac{3}{8}}=\mathrm{0,375}$

La probabilidad de que la bola verde proceda de la urna A es $\frac{3}{8}$. Es menor que $\frac{1}{2}$, como cabía esperar: la urna B tiene una proporción de bolas verdes mayor que la A.