Ejercicio resuelto de Árboles de decisión · Matemáticas II · 2023

Ejercicio A5
La producción de una empresa la realizan, a partes iguales, cuatro turnos, de los que tres son diurnos y uno nocturno. El porcentaje de piezas defectuosas producidas en cada turno diurno es el 2 % y en el nocturno es del 10 %.
Si se toma una pieza al azar de un turno al azar,

a) calcula la probabilidad de que la pieza sea defectuosa;
b) si la pieza tomada es defectuosa, calcula la probabilidad de que se haya producido en un turno diurno.

Los cuatro turnos producen a partes iguales, de modo que la probabilidad de que la pieza proceda de cualquiera de ellos es $\frac{1}{4}$. Como tres son diurnos y uno nocturno, y los tres diurnos tienen el mismo porcentaje de piezas defectuosas, podemos agruparlos en un solo suceso:

$P(D)={\displaystyle \frac{3}{4}},P(N)={\displaystyle \frac{1}{4}}$

Llamando $F$ al suceso «la pieza es defectuosa», los datos del enunciado se organizan así:



$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcula}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{pieza}}\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{defectuosa.}}$

Los dos tipos de turno forman un sistema completo de sucesos, así que aplicamos el teorema de la probabilidad total: se suman los productos de las ramas que acaban en $F$.

$P(F)=P(D)P(F\mathrm{\mid }D)+P(N)P(F\mathrm{\mid }N)$

$={\displaystyle \frac{3}{4}}\cdot \mathrm{0,02}+{\displaystyle \frac{1}{4}}\cdot \mathrm{0,10}$

$=\mathrm{0,015}+\mathrm{0,025}=\mathrm{0,04}$

La probabilidad de que la pieza sea defectuosa es $\mathrm{0,04}$, es decir, un $4\mathrm{\%}$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{pieza}}\mathbf{\text{tomada}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{defectuosa,}}\mathbf{\text{calcula}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{haya}}\mathbf{\text{producido}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{turno}}\mathbf{\text{diurno.}}$

Ahora el dato es el resultado final y se pregunta por el origen, es decir, se recorre el árbol en sentido contrario: se aplica el teorema de Bayes.

$P(D\mathrm{\mid }F)={\displaystyle \frac{P(D)P(F\mathrm{\mid }D)}{P(F)}}$

$={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{3}{4}}\cdot \mathrm{0,02}}{\mathrm{0,04}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,015}}{\mathrm{0,04}}}=\mathrm{0,375}$

Sabiendo que la pieza es defectuosa, la probabilidad de que proceda de un turno diurno es $\mathrm{0,375}$, es decir, un $\mathrm{37,5}\mathrm{\%}$. Llama la atención que sea menor que la mitad pese a que los turnos diurnos son tres de cada cuatro: el turno nocturno produce cinco veces más defectos y eso pesa más que su menor número de turnos.