Ejercicio resuelto de Árboles de decisión · Matemáticas II · 2025

Solo dos sedes de una empresa fabrican el mismo modelo de aspiradora. La sede A suministra el 60 % de la producción total. Un 0,15 % de las aspiradoras fabricadas en la sede A y un 0,1 % de las aspiradoras fabricadas en la sede B falla durante el primer año. [2,5 puntos]

a) Calcule la probabilidad de que una aspiradora fabricada en la sede B no falle durante el primer año. [0,75 puntos]

b) Calcule la probabilidad de que una aspiradora elegida al azar falle durante el primer año. [0,75 puntos]

c) Si una aspiradora elegida al azar no falla durante el primer año, calcule la probabilidad de que haya sido fabricada en la sede A. [1 punto]

Llamamos $A$ y $B$ a los sucesos «la aspiradora se ha fabricado en esa sede» y $F$ al suceso «falla durante el primer año». Las dos sedes forman un sistema completo de sucesos y los porcentajes de fallo son probabilidades condicionadas a cada una de ellas.

$P(A)=\mathrm{0,60},P(B)=\mathrm{0,40},P(F\mathrm{/}A)=\mathrm{0,0015},P(F\mathrm{/}B)=\mathrm{0,001}$

El árbol del experimento es el siguiente.



$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{aspiradora}}\mathbf{\text{fabricada}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{sede}}\mathbf{\text{B}}\mathbf{\text{no}}\mathbf{\text{falle}}\mathbf{\text{durante}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{primer}}\mathbf{\text{a}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{o.}}\mathbf{\text{[0,75}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Se pide la probabilidad de la segunda rama de la sede $B$, que es la del suceso contrario del fallo dentro de esa misma sede.

$P(\bar{F}\mathrm{/}B)=1-P(F\mathrm{/}B)=1-\mathrm{0,001}=\mathrm{0,999}$

La probabilidad de que una aspiradora fabricada en la sede B no falle durante el primer año es $\mathrm{0,999}$, es decir, un $\mathrm{99,9}\mathrm{\%}$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{aspiradora}}\mathbf{\text{elegida}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{azar}}\mathbf{\text{falle}}\mathbf{\text{durante}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{primer}}\mathbf{\text{a}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{o.}}\mathbf{\text{[0,75}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Como no se dice en qué sede se ha fabricado, hay que sumar las dos ramas que acaban en $F$. Es el teorema de la probabilidad total.

$P(F)=P(A)P(F\mathrm{/}A)+P(B)P(F\mathrm{/}B)$

$P(F)=\mathrm{0,60}\cdot \mathrm{0,0015}+\mathrm{0,40}\cdot \mathrm{0,001}=\mathrm{0,0009}+\mathrm{0,0004}=\mathrm{0,0013}$

La probabilidad de que una aspiradora elegida al azar falle durante el primer año es $\mathrm{0,0013}$, es decir, un $\mathrm{0,13}\mathrm{\%}$.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{aspiradora}}\mathbf{\text{elegida}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{azar}}\mathbf{\text{no}}\mathbf{\text{falla}}\mathbf{\text{durante}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{primer}}\mathbf{\text{a}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{o,}}\mathbf{\text{calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{haya}}\mathbf{\text{sido}}\mathbf{\text{fabricada}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{sede}}\mathbf{\text{A.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Ahora se conoce el resultado y se pregunta por la causa, así que aplicamos el teorema de Bayes: dividimos la rama que interesa entre la probabilidad total de no fallar, que es la contraria de la del apartado anterior.

$P(\bar{F})=1-P(F)=1-\mathrm{0,0013}=\mathrm{0,9987}$

$P(A\mathrm{/}\bar{F})={\displaystyle \frac{P(A)P(\bar{F}\mathrm{/}A)}{P(\bar{F})}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,60}\cdot \mathrm{0,9985}}{\mathrm{0,9987}}}$

$P(A\mathrm{/}\bar{F})={\displaystyle \frac{\mathrm{0,5991}}{\mathrm{0,9987}}}\approx \mathrm{0,5999}$

La probabilidad de que una aspiradora que no ha fallado proceda de la sede A es $\mathrm{0,5999}$, prácticamente el $60\mathrm{\%}$ que representa esa sede en la producción total: como las dos tasas de fallo son muy pequeñas, saber que no ha fallado apenas informa sobre su procedencia.