Ejercicio resuelto de Árboles de decisión · Matemáticas II · 2026

Tenemos 3 cajas (caja A, caja B y caja C) y bolas rojas o blancas. La caja A contiene 10 bolas, de las cuales 4 son blancas. La caja B contiene 6 bolas, de las cuales solo una es blanca. La caja C contiene 3 bolas blancas en un total de 8 bolas. [2,5 puntos]

a) Calcule la probabilidad de que, al sacar al azar una bola de cualquiera de las cajas, esta sea blanca. [0,5 puntos]

b) Calcule la probabilidad de que, habiendo escogido al azar una bola blanca, pertenezca a la caja B. [1 punto]

c) Calcule la probabilidad de que, sacando al azar dos bolas de las cajas A o B, se obtengan dos bolas blancas. [1 punto]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que,}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{sacar}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{azar}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{bola}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{cualquiera}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{cajas,}}\mathbf{\text{esta}}\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{blanca.}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Sacar la bola «de cualquiera de las cajas» significa elegir primero una caja al azar, y las tres son igual de probables. Anotamos las proporciones de blancas de cada una.

$P(A)=P(B)=P(C)={\displaystyle \frac{1}{3}}$

$P(Bl\mathrm{/}A)={\displaystyle \frac{4}{10}},P(Bl\mathrm{/}B)={\displaystyle \frac{1}{6}},P(Bl\mathrm{/}C)={\displaystyle \frac{3}{8}}$



Aplicamos el teorema de la probabilidad total, sumando las tres ramas que acaban en bola blanca.

$P(Bl)={\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot {\displaystyle \frac{4}{10}}+{\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{6}}+{\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot {\displaystyle \frac{3}{8}}={\displaystyle \frac{1}{3}}\left({\displaystyle \frac{48+20+45}{120}}\right)={\displaystyle \frac{113}{360}}$

La probabilidad de sacar bola blanca es $\frac{113}{360}\approx \mathrm{0,3139}$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que,}}\mathbf{\text{habiendo}}\mathbf{\text{escogido}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{azar}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{bola}}\mathbf{\text{blanca,}}\mathbf{\text{pertenezca}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{caja}}\mathbf{\text{B.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Ahora el suceso conocido es el final de la cadena y el que se pregunta es el principio, así que se trata de una probabilidad a posteriori: aplicamos el teorema de Bayes con el denominador que acabamos de calcular.

$P(B\mathrm{/}Bl)={\displaystyle \frac{P(B)\cdot P(Bl\mathrm{/}B)}{P(Bl)}}$

$P(B\mathrm{/}Bl)={\displaystyle \frac{\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{6}}{\frac{113}{360}}}={\displaystyle \frac{\frac{1}{18}}{\frac{113}{360}}}={\displaystyle \frac{360}{18\cdot 113}}={\displaystyle \frac{20}{113}}$

De cada cien bolas blancas que se extraigan por este procedimiento, unas dieciocho vendrán de la caja B: $P(B\mathrm{/}Bl)=\frac{20}{113}\approx \mathrm{0,1770}$.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que,}}\mathbf{\text{sacando}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{azar}}\mathbf{\text{dos}}\mathbf{\text{bolas}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{cajas}}\mathbf{\text{A}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{B,}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{obtengan}}\mathbf{\text{dos}}\mathbf{\text{bolas}}\mathbf{\text{blancas.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Entendemos que se elige al azar una de las dos cajas y de ella se extraen las dos bolas, una tras otra y sin devolver la primera. En la caja B solo hay una bola blanca, de modo que esa rama es imposible.

$P(\text{2 blancas}\mathrm{/}A)={\displaystyle \frac{4}{10}}\cdot {\displaystyle \frac{3}{9}}={\displaystyle \frac{12}{90}}={\displaystyle \frac{2}{15}}$

$P(\text{2 blancas}\mathrm{/}B)={\displaystyle \frac{1}{6}}\cdot {\displaystyle \frac{0}{5}}=0$

$P(\text{2 blancas})={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{2}{15}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot 0={\displaystyle \frac{1}{15}}$

La otra lectura posible del enunciado, sacar una bola de la caja A y otra de la caja B, conduce al mismo número, porque los sucesos son entonces independientes.

${\displaystyle \frac{4}{10}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{6}}={\displaystyle \frac{4}{60}}={\displaystyle \frac{1}{15}}$

En cualquiera de las dos interpretaciones la probabilidad de obtener dos bolas blancas es $\frac{1}{15}\approx \mathrm{0,0667}$.