Ejercicio resuelto de Árboles de decisión · Matemáticas II · 2022

Ejercicio A5
Tenemos dos urnas con el siguiente número de bolas blancas y negras:
T: 4 bolas negras y 6 blancas,
R: 7 bolas negras y 3 blancas.
Se selecciona al azar una urna, se extrae una bola y se coloca en la otra urna. A continuación, se extrae una bola de esta última urna. Calcula la probabilidad de que las dos bolas extraídas:

(a) sean negras,
(b) sean blancas,
(c) sean de distinto color.

La urna $T$ tiene $4$ bolas negras y $6$ blancas, y la $R$ tiene $7$ negras y $3$ blancas; ambas con $10$ bolas. Al elegir urna al azar, $P(T)=P(R)=\frac{1}{2}$.

Lo esencial es que la bola extraída se traslada a la otra urna, de modo que esta pasa a tener $11$ bolas y su composición depende del color que haya entrado. Llamamos $N$ y $B$ a los colores, con subíndice $1$ o $2$ según sea la primera o la segunda extracción.



$\mathbf{\text{(a)}}\mathbf{\text{Calcula}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{dos}}\mathbf{\text{bolas}}\mathbf{\text{extra}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{das}}\mathbf{\text{sean}}\mathbf{\text{negras.}}$

Se recorren las dos ramas del árbol que acaban en $N_2$ tras haber pasado por $N_1$, y se suman sus productos.

Si se empieza por $T$ y sale negra, la urna $R$ pasa a tener $8$ negras sobre $11$; si se empieza por $R$ y sale negra, la urna $T$ pasa a tener $5$ negras sobre $11$.

$P(N_1\cap N_2)={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{4}{10}}\cdot {\displaystyle \frac{8}{11}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{7}{10}}\cdot {\displaystyle \frac{5}{11}}$

$={\displaystyle \frac{32}{220}}+{\displaystyle \frac{35}{220}}={\displaystyle \frac{67}{220}}\approx \mathrm{0,305}$

$\mathbf{\text{(b)}}\mathbf{\text{Calcula}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{dos}}\mathbf{\text{bolas}}\mathbf{\text{extra}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{das}}\mathbf{\text{sean}}\mathbf{\text{blancas.}}$

Igual que antes, con las ramas que pasan por $B_1$ y acaban en $B_2$. Si se empieza por $T$ y sale blanca, $R$ pasa a tener $4$ blancas sobre $11$; si se empieza por $R$ y sale blanca, $T$ pasa a tener $7$ blancas sobre $11$.

$P(B_1\cap B_2)={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{6}{10}}\cdot {\displaystyle \frac{4}{11}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{3}{10}}\cdot {\displaystyle \frac{7}{11}}$

$={\displaystyle \frac{24}{220}}+{\displaystyle \frac{21}{220}}={\displaystyle \frac{45}{220}}={\displaystyle \frac{9}{44}}\approx \mathrm{0,205}$

$\mathbf{\text{(c)}}\mathbf{\text{Calcula}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{dos}}\mathbf{\text{bolas}}\mathbf{\text{extra}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{das}}\mathbf{\text{sean}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{distinto}}\mathbf{\text{color.}}$

Que sean de distinto color es el suceso contrario de que sean del mismo color, y este último ya está calculado como suma de los dos apartados anteriores, que son incompatibles.

$P(\text{distinto color})=1-[P(N_1\cap N_2)+P(B_1\cap B_2)]$

$=1-({\displaystyle \frac{67}{220}}+{\displaystyle \frac{45}{220}})=1-{\displaystyle \frac{112}{220}}={\displaystyle \frac{108}{220}}={\displaystyle \frac{27}{55}}\approx \mathrm{0,491}$

La probabilidad de que las dos bolas sean de distinto color es ${\displaystyle \frac{27}{55}}$, casi la mitad.