Ejercicio resuelto de Árboles de decisión · Matemáticas II · 2021

Ejercicio A5
En una farmacia se ha recibido un lote de medicamentos de los tipos A, I y M. El 80 % corresponde al medicamento A, el 10 % al I y el resto al M. En la revisión realizada por la farmacéutica se ha observado que hay medicamentos caducados en los siguientes porcentajes: el 10 % de A, el 20 % de I y el 5 % de M. Se elige una caja de medicamentos al azar. Hallar:

a) La probabilidad de coger un medicamento caducado.
b) Si sabemos que el medicamento está caducado, la probabilidad de que sea del tipo A.

Llamamos $A$, $I$ y $M$ a los sucesos «coger un medicamento de ese tipo», y $C$ al suceso «el medicamento está caducado». El porcentaje del tipo $M$ se obtiene por diferencia:

$P(M)=1-\mathrm{0,80}-\mathrm{0,10}=\mathrm{0,10}$

Con eso, los datos del enunciado se organizan en el siguiente árbol:



$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Hallar}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{coger}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{medicamento}}\mathbf{\text{caducado.}}$

Los tres tipos forman un sistema completo de sucesos, así que aplicamos el teorema de la probabilidad total: se suman los productos de las ramas que acaban en $C$.

$P(C)=P(A)P(C\mathrm{\mid }A)+P(I)P(C\mathrm{\mid }I)+P(M)P(C\mathrm{\mid }M)$

$=\mathrm{0,80}\cdot \mathrm{0,10}+\mathrm{0,10}\cdot \mathrm{0,20}+\mathrm{0,10}\cdot \mathrm{0,05}$

$=\mathrm{0,080}+\mathrm{0,020}+\mathrm{0,005}=\mathrm{0,105}$

La probabilidad de coger un medicamento caducado es $\mathrm{0,105}$, es decir, un $\mathrm{10,5}\mathrm{\%}$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{sabemos}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{medicamento}}\mathbf{\text{est}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{caducado,}}\mathbf{\text{hallar}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{tipo}}\mathit{A}\mathbf{\text{.}}$

Ahora el dato es el estado del medicamento y se pregunta por su tipo, es decir, se recorre el árbol en sentido contrario: se aplica el teorema de Bayes.

$P(A\mathrm{\mid }C)={\displaystyle \frac{P(A)P(C\mathrm{\mid }A)}{P(C)}}$

$={\displaystyle \frac{\mathrm{0,80}\cdot \mathrm{0,10}}{\mathrm{0,105}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,080}}{\mathrm{0,105}}}=\mathrm{0,762}$

Sabiendo que el medicamento está caducado, la probabilidad de que sea del tipo $A$ es $\mathrm{0,762}$, es decir, un $\mathrm{76,2}\mathrm{\%}$. Es un valor alto pese a que el tipo $A$ caduca menos que el $I$: pesa mucho más que suponga el $80\mathrm{\%}$ del lote.