Examen de Matemáticas II de Cantabria 2025 (convocatoria ordinaria)

Considere las matrices:

$A=\left(\begin{array}{ccc}a+1& 1& 1\\ 1& a+3& 1\\ 1& 1& a+1\end{array}\right)$, con $a\in \mathbb{R}$; y $B=\left(\begin{array}{cc}-1& -3\\ 2& 0\\ 5& 3\end{array}\right)$. [2,5 puntos]

a) Halle los valores del parámetro $a$ para los cuales la matriz $A$ tiene inversa. [1 punto]

b) Considere $a=-3$. Calcule, si es posible, la matriz inversa de $A$. [1 punto]

c) Considere $a=-3$. Halle, si es posible, la matriz $X$ que satisface la siguiente ecuación matricial: $AX=B$. [0,5 puntos]

Considere el siguiente sistema de ecuaciones:

$\{\begin{array}{l}ax+y-z=1\\ (a^2-2)y+2z=-2\\ -x+z=0\end{array}$

dependiente del parámetro $a\in \mathbb{R}$. [2,5 puntos]

a) Halle los valores de $a$ para los cuales el sistema es compatible. [1,5 puntos]

b) Considere $a=0$. Si el sistema es compatible, halle su solución general. [1 punto]

Considere la siguiente función definida a trozos:

$f(x)=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{x^3-8}{x^2-4}}& \text{si }x\mathrm{\ne }2\\ e^k& \text{si }x=2\end{array}$

con $k\in \mathbb{R}$ un parámetro a determinar. [2,5 puntos]

a) Determine el valor del parámetro $k$ para que $f(x)$ sea continua en $x=2$. [0,75 puntos]

b) Si existen, halle las asíntotas de $f(x)$ y especifique de qué tipo son. [1 punto]

c) Obtenga la ecuación de la recta tangente a $f(x)$ en $x=1$. [0,75 puntos]

Considere la siguiente función: $f(x)=(x^2-2)e^{2x}$. [2,5 puntos]

a) Halle los puntos de corte de $f(x)$ con el eje de abscisas OX y los puntos de corte de $f(x)$ con el eje de ordenadas OY. [0,5 puntos]

b) Estudie los intervalos de crecimiento y decrecimiento de $f(x)$. [1 punto]

c) Calcule el área comprendida entre la curva $y=f(x)$, el eje OX y las rectas $x=-2$ y $x=1$. [1 punto]

Considere la recta $r:\{\begin{array}{l}2x-y=3\\ y-2z=1\end{array}$ y el punto $P=(1,1,1)$. [2,5 puntos]

a) Determine los puntos de $r$ que están a una distancia de $\sqrt{14}$ unidades de $P$. [1 punto]

b) Obtenga la ecuación del plano que contiene a $r$ y $P$. [0,75 puntos]

c) Calcule la distancia entre $r$ y $P$. [0,75 puntos]

En un colegio se ofrecen solo atletismo y baloncesto como actividades deportivas extraescolares. En base a los datos de otros años, los docentes determinan que la probabilidad de que un alumno se matricule en atletismo es $P(A)=\mathrm{0,40}$; y que la probabilidad de que un estudiante se matricule en baloncesto es $P(B)=\mathrm{0,65}$. Además, solo un 10 % del alumnado no se matricula en ningún deporte. [2,5 puntos]

a) Calcule la probabilidad de que un alumno se matricule en los dos deportes. [1 punto]

b) Calcule las siguientes probabilidades: $P(A\mathrm{/}B)$, $P(B\mathrm{/}A)$ y $P(A\mathrm{/}{B}^c)$, donde $B^c$ representa el suceso contrario a $B$. [1,5 puntos]

Solo dos sedes de una empresa fabrican el mismo modelo de aspiradora. La sede A suministra el 60 % de la producción total. Un 0,15 % de las aspiradoras fabricadas en la sede A y un 0,1 % de las aspiradoras fabricadas en la sede B falla durante el primer año. [2,5 puntos]

a) Calcule la probabilidad de que una aspiradora fabricada en la sede B no falle durante el primer año. [0,75 puntos]

b) Calcule la probabilidad de que una aspiradora elegida al azar falle durante el primer año. [0,75 puntos]

c) Si una aspiradora elegida al azar no falla durante el primer año, calcule la probabilidad de que haya sido fabricada en la sede A. [1 punto]