Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas II

Considere el siguiente sistema de ecuaciones:

$\{\begin{array}{l}ax+y-z=1\\ (a^2-2)y+2z=-2\\ -x+z=0\end{array}$

dependiente del parámetro $a\in \mathbb{R}$. [2,5 puntos]

a) Halle los valores de $a$ para los cuales el sistema es compatible. [1,5 puntos]

b) Considere $a=0$. Si el sistema es compatible, halle su solución general. [1 punto]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Halle}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{valores}}\mathbf{\text{de}}\mathit{a}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{cuales}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{sistema}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{compatible.}}\mathbf{\text{[1,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Discutimos el sistema por el teorema de Rouché-Frobenius. Escribimos la matriz de coeficientes y la ampliada, y empezamos por el determinante de la primera.

$M=\left(\begin{array}{ccc}a& 1& -1\\ 0& a^2-2& 2\\ -1& 0& 1\end{array}\right),M^{\ast }=\left(\begin{array}{cccc}a& 1& -1& 1\\ 0& a^2-2& 2& -2\\ -1& 0& 1& 0\end{array}\right)$

Desarrollamos por la tercera fila, que tiene un cero.

$\mathrm{\mid }M\mathrm{\mid }=-1\cdot \mid \begin{array}{cc}1& -1\\ a^2-2& 2\end{array}\mid +1\cdot \mid \begin{array}{cc}a& 1\\ 0& a^2-2\end{array}\mid =-(2+a^2-2)+a(a^2-2)$

$\mathrm{\mid }M\mathrm{\mid }=-a^2+a^3-2a=a(a^2-a-2)=a(a-2)(a+1)$

$a(a-2)(a+1)=0\Rightarrow a=0,a=2,a=-1$

Si $a\mathrm{\ne }0,2,-1$, entonces $\mathrm{\mid }M\mathrm{\mid }\mathrm{\ne }0$ y

$\mathrm{ran}(M)=\mathrm{ran}(M^{\ast })=3=\text{n.º de inc}\acute{\text{o}}\text{gnitas}$

es decir, el sistema es compatible determinado. Queda estudiar los tres valores que anulan el determinante.

Para $a=0$ tomamos el menor formado por la primera y la tercera fila y las dos primeras columnas:

$\mid \begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\mid =0+1=1\mathrm{\ne }0\text{ y }\mathrm{\mid }M\mathrm{\mid }=0\Rightarrow \mathrm{ran}(M)=2$

Orlamos ese menor con la columna de términos independientes:

$\mid \begin{array}{ccc}0& 1& 1\\ 0& -2& -2\\ -1& 0& 0\end{array}\mid =-1\cdot \mid \begin{array}{cc}1& 1\\ -2& -2\end{array}\mid =-1\cdot 0=0\Rightarrow \mathrm{ran}(M^{\ast })=2$

Como $\mathrm{ran}(M)=\mathrm{ran}(M^{\ast })=2<3$, el sistema es compatible indeterminado.

Para $a=2$ el menor de las dos primeras filas y columnas ya sirve:

$\mid \begin{array}{cc}2& 1\\ 0& 2\end{array}\mid =4\mathrm{\ne }0\text{ y }\mathrm{\mid }M\mathrm{\mid }=0\Rightarrow \mathrm{ran}(M)=2$

$\mid \begin{array}{ccc}2& 1& 1\\ 0& 2& -2\\ -1& 0& 0\end{array}\mid =-1\cdot \mid \begin{array}{cc}1& 1\\ 2& -2\end{array}\mid =-1\cdot (-4)=4\mathrm{\ne }0\Rightarrow \mathrm{ran}(M^{\ast })=3$

Los dos rangos no coinciden, así que el sistema es incompatible.

Para $a=-1$ se repite el razonamiento:

$\mid \begin{array}{cc}-1& 1\\ 0& -1\end{array}\mid =1\mathrm{\ne }0\text{ y }\mathrm{\mid }M\mathrm{\mid }=0\Rightarrow \mathrm{ran}(M)=2$

$\mid \begin{array}{ccc}-1& 1& 1\\ 0& -1& -2\\ -1& 0& 0\end{array}\mid =-1\cdot \mid \begin{array}{cc}1& 1\\ -1& -2\end{array}\mid =-1\cdot (-1)=1\mathrm{\ne }0\Rightarrow \mathrm{ran}(M^{\ast })=3$

y el sistema vuelve a ser incompatible.

El sistema es compatible para todos los valores de $a$ salvo $a=2$ y $a=-1$: determinado si además $a\mathrm{\ne }0$ e indeterminado si $a=0$.



Por el apartado anterior, para $a=0$ el sistema es compatible indeterminado con $\mathrm{ran}(M)=2$: sobra una ecuación y queda un parámetro libre. El sistema es

$\{\begin{array}{l}y-z=1\\ -2y+2z=-2\\ -x+z=0\end{array}$

La segunda ecuación es la primera multiplicada por $-2$, de modo que la eliminamos y nos quedamos con la primera y la tercera, que son las del menor de orden dos no nulo. Pasamos $z$ al segundo miembro como parámetro.

$z=\lambda ,\lambda \in \mathbb{R}$

$y-\lambda =1\Rightarrow y=1+\lambda$

$-x+\lambda =0\Rightarrow x=\lambda$

La solución general del sistema para $a=0$ es

$\{\begin{array}{l}x=\lambda \\ y=1+\lambda \\ z=\lambda \end{array},\lambda \in \mathbb{R}$

Se trata de una recta de soluciones: a cada valor de $\lambda$ le corresponde una y solo una terna.