Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas II

Considere el siguiente sistema de ecuaciones:

$\{\begin{array}{l}x+y+z=0\\ y+az=1\\ ay+z=2-a\end{array}$

dependiente del parámetro $a\in \mathbb{R}$. Responda a las siguientes cuestiones: [2,5 puntos]

a) Discuta el sistema en función de los valores de $a$. [1,5 puntos]

b) Considere $a=2$. Si el sistema es compatible, halle su solución general. [0,5 puntos]

c) Considere $a=1$. Si el sistema es compatible, halle su solución general. [0,5 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Discuta}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{sistema}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{valores}}\mathbf{\text{de}}\mathit{a}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{[1,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Aplicamos el teorema de Rouché-Frobenius. Escribimos la matriz de coeficientes y la ampliada y calculamos el determinante de la primera, que se desarrolla cómodamente por la primera columna.

$M=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 0& 1& a\\ 0& a& 1\end{array}\right),M^{\ast }=\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 0\\ 0& 1& a& 1\\ 0& a& 1& 2-a\end{array}\right)$

$\mathrm{\mid }M\mathrm{\mid }=1\cdot \mid \begin{array}{cc}1& a\\ a& 1\end{array}\mid =1-a^2$

$1-a^2=0\Rightarrow a=1,a=-1$

Si $a\mathrm{\ne }1$ y $a\mathrm{\ne }-1$, entonces $\mathrm{\mid }M\mathrm{\mid }\mathrm{\ne }0$ y

$\mathrm{ran}(M)=\mathrm{ran}(M^{\ast })=3=\text{n.º de inc}\acute{\text{o}}\text{gnitas}$

es decir, el sistema es compatible determinado. Estudiamos los dos valores restantes.

Para $a=1$:

$M^{\ast }=\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 0\\ 0& 1& 1& 1\\ 0& 1& 1& 1\end{array}\right)$

La segunda y la tercera fila son idénticas, así que sobra una ecuación.

$\mid \begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\mid =1\mathrm{\ne }0\Rightarrow \mathrm{ran}(M)=\mathrm{ran}(M^{\ast })=2<3$

El sistema es compatible indeterminado.

Para $a=-1$:

$M^{\ast }=\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 0\\ 0& 1& -1& 1\\ 0& -1& 1& 3\end{array}\right)$

$\mid \begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\mid =1\mathrm{\ne }0\text{ y }\mathrm{\mid }M\mathrm{\mid }=0\Rightarrow \mathrm{ran}(M)=2$

Orlamos ese menor con la columna de términos independientes:

$\mid \begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 0& 1& 1\\ 0& -1& 3\end{array}\mid =1\cdot (3+1)=4\mathrm{\ne }0\Rightarrow \mathrm{ran}(M^{\ast })=3$

Los rangos no coinciden y el sistema es incompatible. Se ve también sumando las dos últimas ecuaciones, que dan $0=4$.

En resumen: el sistema es compatible determinado si $a\mathrm{\ne }\pm 1$, compatible indeterminado si $a=1$ e incompatible si $a=-1$.



Como $2\mathrm{\ne }\pm 1$, el sistema es compatible determinado y tiene solución única. Sustituimos:

$\{\begin{array}{l}x+y+z=0\\ y+2z=1\\ 2y+z=0\end{array}$

De la tercera ecuación despejamos $z=-2y$ y lo llevamos a la segunda.

$y+2(-2y)=1\Rightarrow -3y=1\Rightarrow y=-{\displaystyle \frac{1}{3}}$

$z=-2(-{\displaystyle \frac{1}{3}})={\displaystyle \frac{2}{3}}$

$x=-y-z={\displaystyle \frac{1}{3}}-{\displaystyle \frac{2}{3}}=-{\displaystyle \frac{1}{3}}$

La solución para $a=2$ es única: $(x,y,z)=(-\frac{1}{3},-\frac{1}{3},\frac{2}{3})$.



Por el apartado a), para $a=1$ el sistema es compatible indeterminado con rango $2$: sobra una ecuación y queda un parámetro libre. Suprimida la tercera, que es igual a la segunda, el sistema es

$\{\begin{array}{l}x+y+z=0\\ y+z=1\end{array}$

Tomamos $z$ como parámetro.

$z=\lambda ,\lambda \in \mathbb{R}$

$y=1-\lambda$

$x=-y-z=-(1-\lambda )-\lambda =-1$

La solución general para $a=1$ es

$\{\begin{array}{l}x=-1\\ y=1-\lambda \\ z=\lambda \end{array},\lambda \in \mathbb{R}$

Obsérvese que la primera coordenada no depende del parámetro: todas las soluciones están en el plano $x=-1$.