Examen de Matemáticas II de Cantabria 2026 (convocatoria ordinaria)

Considere la matriz presentada a continuación,

$A=\left(\begin{array}{ccc}1& a& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& a\end{array}\right)$

dependiente del parámetro $a\in \mathbb{R}$. Responda a las siguientes cuestiones: [2,5 puntos]

a) Estudie el rango de $A$ en función del valor del parámetro $a$. [0,5 puntos]

b) Calcule $A^{100}$ en función del parámetro $a$. [1 punto]

c) Para $a=-1$, calcule, si es posible, la matriz $X$ que cumple: $AX{A}^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}2& 2& 2\\ 0& 0& -1\\ 0& -2& -2\end{array}\right)$. [1 punto]

Considere el siguiente sistema de ecuaciones:

$\{\begin{array}{l}x+y+z=0\\ y+az=1\\ ay+z=2-a\end{array}$

dependiente del parámetro $a\in \mathbb{R}$. Responda a las siguientes cuestiones: [2,5 puntos]

a) Discuta el sistema en función de los valores de $a$. [1,5 puntos]

b) Considere $a=2$. Si el sistema es compatible, halle su solución general. [0,5 puntos]

c) Considere $a=1$. Si el sistema es compatible, halle su solución general. [0,5 puntos]

Considere la función presentada a continuación,

$f(x)={\displaystyle \frac{x^2+ax+1}{x+a^2}}$

donde $a\in \mathbb{R}$. Responda a las siguientes cuestiones: [2,5 puntos]

a) Calcule los valores de $a$ para los que $f(x)$ tiene como asíntota oblicua a la recta $y=x-6$. [1 punto]

b) Considere $a=-2$, estudie los intervalos de crecimiento y decrecimiento de $f(x)$. [1 punto]

c) Considere $a=-2$, halle la expresión de la recta tangente a $f(x)$ en $x=-1$. [0,5 puntos]

Considere la función real presentada a continuación,

$f(x)={\displaystyle \frac{e^x-1}{e^{2x}-4}}$

y responda a las siguientes cuestiones: [2,5 puntos]

a) Si existen, calcule las asíntotas de $f(x)$. [1 punto]

b) Calcule una primitiva de $f(x)$ que en $x=\ln 4$ tome el valor $\ln 2$. [1,5 puntos]

Considere los puntos $A=(0,0,4)$, $B=(-3,0,0)$ y $C=(0,-2,0)$. [2,5 puntos]

a) Halle la ecuación general o implícita del plano que contiene a $A$, $B$ y $C$. [0,5 puntos]

b) Calcule la distancia entre el punto $P=(1,1,1)$ y la recta que contiene a $A$ y $B$. [1 punto]

c) Calcule el volumen del tetraedro formado por los vértices $A$, $B$, $C$ y $D=(0,0,0)$. [1 punto]

En un criadero de cobayas tienen variedades de pelo corto y de pelo largo. En cualquiera de estas variedades, disponen de animales blancos o marrones. Del total de cobayas, el 60 % es de pelo corto, y solo el 8 % son blancas de pelo largo. [2,5 puntos]

a) Calcule la probabilidad de que, habiendo elegido una cobaya de pelo largo al azar, esta sea de color marrón. [0,75 puntos]

Si la probabilidad de escoger al azar una cobaya blanca es de 0,2:

b) Calcule la probabilidad de que, habiendo escogido una cobaya marrón al azar, esta sea de pelo largo. [1 punto]

c) Calcule la probabilidad de que, habiendo escogido una cobaya de pelo corto, esta sea marrón. [0,75 puntos]

El diámetro de las mandarinas de cierta variedad se distribuye normalmente con una media de 60 mm y una desviación típica de 16 mm. [2,5 puntos]

a) Calcule la probabilidad de que, habiendo escogido al azar una mandarina, esta tenga un diámetro menor de 40 mm o mayor de 90 mm. [1 punto]

b) Calcule la probabilidad de que, al escoger al azar dos mandarinas, ambas tengan menos de 50 mm de diámetro. [1 punto]

c) Calcule la probabilidad de que, habiendo escogido al azar una mandarina, esta tenga un diámetro entre 40 mm y 50 mm. [0,5 puntos]