Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2026

Considere la función real presentada a continuación,

$f(x)={\displaystyle \frac{e^x-1}{e^{2x}-4}}$

y responda a las siguientes cuestiones: [2,5 puntos]

a) Si existen, calcule las asíntotas de $f(x)$. [1 punto]

b) Calcule una primitiva de $f(x)$ que en $x=\ln 4$ tome el valor $\ln 2$. [1,5 puntos]

Empezamos por el dominio, porque es donde pueden aparecer las asíntotas verticales. El denominador se anula cuando

$e^{2x}-4=0\Rightarrow e^{2x}=4\Rightarrow 2x=\ln 4\Rightarrow x=\ln 2$

$\mathrm{Dom}(f)=\mathbb{R}-\{\ln 2\}$

En ese punto el numerador vale $e^{\ln 2}-1=1\mathrm{\ne }0$, así que hay asíntota vertical. Estudiamos los dos límites laterales fijándonos en el signo del denominador.

${\lim }_{x\to \ln 2^{-}}{\displaystyle \frac{e^x-1}{e^{2x}-4}}={\displaystyle \frac{1}{0^{-}}}=-\mathrm{\infty },{\lim }_{x\to \ln 2^{+}}{\displaystyle \frac{e^x-1}{e^{2x}-4}}={\displaystyle \frac{1}{0^{+}}}=+\mathrm{\infty }$

Para las horizontales calculamos los límites en el infinito. En $+\mathrm{\infty }$ aparece la indeterminación $\frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}$, que se deshace dividiendo numerador y denominador por $e^{2x}$.

${\lim }_{x\to +\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{e^x-1}{e^{2x}-4}}={\lim }_{x\to +\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{e^{-x}-e^{-2x}}{1-4e^{-2x}}}={\displaystyle \frac{0}{1}}=0$

En $-\mathrm{\infty }$ no hay indeterminación, porque $e^x\to 0$ y $e^{2x}\to 0$.

${\lim }_{x\to -\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{e^x-1}{e^{2x}-4}}={\displaystyle \frac{0-1}{0-4}}={\displaystyle \frac{1}{4}}$

Como los dos límites son finitos, no puede haber asíntota oblicua.



La función tiene tres asíntotas: la vertical $x=\ln 2$ y dos horizontales distintas, $y=0$ cuando $x\to +\mathrm{\infty }$ e $y=\frac{1}{4}$ cuando $x\to -\mathrm{\infty }$.



La integral es racional en $e^x$, así que hacemos el cambio $t=e^x$, que convierte el integrando en una función racional de $t$.

$t=e^x\Rightarrow dt=e^{x}dx=tdx\Rightarrow dx={\displaystyle \frac{dt}{t}}$

$\int {\displaystyle \frac{e^x-1}{e^{2x}-4}}dx=\int {\displaystyle \frac{t-1}{t^2-4}}\cdot {\displaystyle \frac{dt}{t}}=\int {\displaystyle \frac{t-1}{t(t-2)(t+2)}}dt$

Descomponemos en fracciones simples con tres raíces reales y simples.

${\displaystyle \frac{t-1}{t(t-2)(t+2)}}={\displaystyle \frac{A}{t}}+{\displaystyle \frac{B}{t-2}}+{\displaystyle \frac{C}{t+2}}$

$t=0\Rightarrow A={\displaystyle \frac{-1}{(-2)\cdot 2}}={\displaystyle \frac{1}{4}},t=2\Rightarrow B={\displaystyle \frac{1}{2\cdot 4}}={\displaystyle \frac{1}{8}},t=-2\Rightarrow C={\displaystyle \frac{-3}{(-2)(-4)}}=-{\displaystyle \frac{3}{8}}$

$\int {\displaystyle \frac{t-1}{t(t-2)(t+2)}}dt={\displaystyle \frac{1}{4}}\ln \mathrm{\mid }t\mathrm{\mid }+{\displaystyle \frac{1}{8}}\ln \mathrm{\mid }t-2\mathrm{\mid }-{\displaystyle \frac{3}{8}}\ln \mathrm{\mid }t+2\mathrm{\mid }+K$

Deshacemos el cambio. Como $e^x>0$, el primer logaritmo se simplifica y el tercero no necesita valor absoluto.

$F(x)={\displaystyle \frac{x}{4}}+{\displaystyle \frac{1}{8}}\ln \mid e^x-2\mid -{\displaystyle \frac{3}{8}}\ln (e^x+2)+K$

Imponemos la condición del enunciado, teniendo en cuenta que $e^{\ln 4}=4$ y $\ln 4=2\ln 2$.

$F(\ln 4)={\displaystyle \frac{2\ln 2}{4}}+{\displaystyle \frac{1}{8}}\ln 2-{\displaystyle \frac{3}{8}}\ln 6+K=\ln 2$

${\displaystyle \frac{5}{8}}\ln 2-{\displaystyle \frac{3}{8}}\ln 6+K=\ln 2\Rightarrow K={\displaystyle \frac{3}{8}}\ln 2+{\displaystyle \frac{3}{8}}\ln 6={\displaystyle \frac{3}{8}}\ln 12$

La primitiva pedida es

$F(x)={\displaystyle \frac{x}{4}}+{\displaystyle \frac{1}{8}}\ln \mid e^x-2\mid -{\displaystyle \frac{3}{8}}\ln (e^x+2)+{\displaystyle \frac{3}{8}}\ln 12$

Es la única que cumple la condición, porque dos primitivas de una misma función solo se diferencian en una constante.