Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2023

Dadas las funciones $f(x)=-x^2$ y $g(x)=x^2+x-1$ se pide:

a) Calcule los puntos de corte de ambas curvas y dibuje el recinto limitado por ambas funciones. [1,25 puntos]

b) Calcule el área de dicho recinto. [1,25 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{puntos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{corte}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{ambas}}\mathbf{\text{curvas}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{dibuje}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{recinto}}\mathbf{\text{limitado}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{ambas}}\mathbf{\text{funciones.}}\mathbf{\text{[1,25}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Los puntos de corte se obtienen igualando las dos funciones, porque en ellos las dos toman el mismo valor.

$-x^2=x^2+x-1$

$0=2x^2+x-1$

$x={\displaystyle \frac{-1\pm \sqrt{1+8}}{4}}={\displaystyle \frac{-1\pm 3}{4}}\Rightarrow \{\begin{array}{l}{x}_1=-1\\ x_2={\displaystyle \frac{1}{2}}\end{array}$

Calculamos las ordenadas sustituyendo en cualquiera de las dos funciones:

$f(-1)=-1,f\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)=-{\displaystyle \frac{1}{4}}$

Las curvas se cortan en $(-1,-1)$ y en $(\frac{1}{2},-\frac{1}{4})$.

Para dibujar el recinto conviene reconocer las dos parábolas. La de $f$ tiene el coeficiente principal negativo, así que abre hacia abajo, y su vértice es el origen. La de $g$ abre hacia arriba y su vértice está en:

$x_V={\displaystyle \frac{-1}{2\cdot 1}}=-{\displaystyle \frac{1}{2}}\Rightarrow V(-{\displaystyle \frac{1}{2}},-{\displaystyle \frac{5}{4}})$

Evaluando en un punto intermedio se ve cuál va por encima dentro del recinto:

$x=0:f(0)=0>g(0)=-1$



$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{el}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{rea}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{dicho}}\mathbf{\text{recinto.}}\mathbf{\text{[1,25}}\mathbf{\text{puntos]}}$

El área se obtiene integrando, entre las abscisas de los puntos de corte, la diferencia entre la función que va por arriba y la que va por abajo.

$\mathcal{A}={\int }_{-1}^{1\mathrm{/}2}[(-x^2)-(x^2+x-1)]dx$

$={\int }_{-1}^{1\mathrm{/}2}(-2x^2-x+1)dx$

$={[-{\displaystyle \frac{2x^3}{3}}-{\displaystyle \frac{x^2}{2}}+x]}_{-1}^{1\mathrm{/}2}$

$=(-{\displaystyle \frac{2}{3}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{8}}-{\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{4}}+{\displaystyle \frac{1}{2}})-({\displaystyle \frac{2}{3}}-{\displaystyle \frac{1}{2}}-1)$

$=(-{\displaystyle \frac{1}{12}}-{\displaystyle \frac{1}{8}}+{\displaystyle \frac{1}{2}})-(-{\displaystyle \frac{5}{6}})={\displaystyle \frac{7}{24}}+{\displaystyle \frac{5}{6}}={\displaystyle \frac{9}{8}}$

El área del recinto limitado por las dos parábolas es de $\frac{9}{8}=\mathrm{1,125}$ unidades de área.