Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2020

Calcule:

a) ${\displaystyle \underset{x\to 0}{\lim }{\displaystyle \frac{\mathrm{sen}(x)-x{e}^x}{x^2-2\cos (x)+2}}}$. [1,25 puntos]

b) Una primitiva de la función $f(x)=x\cos (x)-e^{-x}$ cuya gráfica pase por el punto $(0,3)$. [1,25 puntos]

Empezamos comprobando de qué indeterminación se trata sustituyendo directamente.

${\lim }_{x\to 0}{\displaystyle \frac{\mathrm{sen}(x)-x{e}^x}{x^2-2\cos (x)+2}}={\displaystyle \frac{0-0}{0-2+2}}={\displaystyle \frac{0}{0}}$

Al ser del tipo $\frac{0}{0}$, aplicamos la regla de L'Hôpital derivando numerador y denominador por separado. En el numerador el segundo sumando pide la regla del producto.

${\lim }_{x\to 0}{\displaystyle \frac{\cos (x)-e^x(1+x)}{2x+2\mathrm{sen}(x)}}={\displaystyle \frac{1-1}{0+0}}={\displaystyle \frac{0}{0}}$

Sigue siendo indeterminado, así que aplicamos la regla una segunda vez.

${\lim }_{x\to 0}{\displaystyle \frac{-\mathrm{sen}(x)-e^x(2+x)}{2+2\cos (x)}}$

Ahora la sustitución ya no da indeterminación:

$={\displaystyle \frac{-0-1\cdot 2}{2+2}}={\displaystyle \frac{-2}{4}}=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$

El límite vale $-\frac{1}{2}$.



Separamos la integral en dos. La primera es de las que se resuelven por partes, porque multiplica un polinomio por una razón trigonométrica.

$\int (x\cos (x)-e^{-x})dx=\int x\cos (x)dx-\int e^{-x}dx$

$\{\begin{array}{ll}u=x& du=dx\\ dv=\cos (x)dx& v=\mathrm{sen}(x)\end{array}$

$\int x\cos (x)dx=x\mathrm{sen}(x)-\int \mathrm{sen}(x)dx=x\mathrm{sen}(x)+\cos (x)$

La segunda es inmediata sin más que ajustar el signo de la derivada interna:

$\int e^{-x}dx=-e^{-x}$

$F(x)=x\mathrm{sen}(x)+\cos (x)+e^{-x}+C$

Imponemos por último que la gráfica pase por el punto dado:

$F(0)=0+\cos (0)+e^0+C=0+1+1+C=3$

$C=1$

La primitiva pedida es $F(x)=x\mathrm{sen}(x)+\cos (x)+e^{-x}+1$.