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Examen de Matemáticas II de Asturias 2020 (convocatoria extraordinaria)

Ejercicios del examen de selectividad de Matemáticas II de Asturias, convocatoria extraordinaria de 2020. Aquí hay 8 ejercicios publicados, 8 con la solución desarrollada. El enunciado completo es el del PDF oficial.

Descargar el PDF oficial del examen

Ejercicio 1: Sistemas de ecuaciones

Dado el sistema

{\begin{cases} x + y = a \\ (2 - a) x + 2 y = 1 \\ a x = a \end{cases}

, con

a \in R

.

a) Estudie su compatibilidad según los valores de

a

. [1,5 puntos]

b) Resuélvalo cuando sea posible. [1 punto]

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Ejercicio 2: Matrices

Dada la matriz

A = (\begin{array}{ccc} x + 1 & x + 1 & x - 2 \\ x & x & 2 - x \\ x & x - 1 & x \end{array})

, con

x \in R

.

a) Calcule su determinante aplicando sus propiedades y estudie cuándo es invertible la matriz. [1,5 puntos]

b) Para

x = 1

, calcule su inversa. [1 punto]

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Ejercicio 3: Funciones

Dada la función

f (x) = \frac{2 x^{3} + 1}{x^{2}}

.

a) Estudie y calcule su dominio de definición y sus asíntotas. [1,25 puntos]

b) Halle, si existen, máximos y mínimos relativos y calcule sus intervalos de crecimiento y decrecimiento. [0,75 puntos]

c) Haga un esbozo de su gráfica. [0,5 puntos]

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Ejercicio 4: Integrales y Áreas

Calcule:

a)

\lim_{x \to 0} \frac{sen (x) - x e^{x}}{x^{2} - 2 \cos (x) + 2}

. [1,25 puntos]

b) Una primitiva de la función

f (x) = x \cos (x) - e^{- x}

cuya gráfica pase por el punto

(0, 3)

. [1,25 puntos]

Ver la solución del ejercicio 4

Ejercicio 5: Rectas y Planos

Sean

A (2, 1, 0)

B (5, 5, 0)

C (2, 1, 5)

tres vértices de la cara

S

de un cubo, de caras cuadradas iguales, y

E (- 2, 4, 0)

un vértice de la cara opuesta. Se pide:

a) El cuarto vértice

D

de la cara

S

. [1 punto]

b) La ecuación del plano

π

que contiene la cara opuesta de

S

. [1 punto]

c) ¿Cuál es el vértice de la cara

S

adyacente a

E

? [0,5 puntos]

Figura del ejercicio

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Ejercicio 6: Rectas y Planos

Dados dos planos

{\begin{cases} π : x + y - 2 z = 3 \\ π^{'} : x - z = 5 \end{cases}

. Sea

P

un punto de

π

cuya proyección ortogonal sobre

π^{'}

es el punto

A (5, 1, 0)

.

a) Calcule las ecuaciones implícitas de la recta

r

que une

P

A

. [1,5 puntos]

b) Calcule el punto

P

. [1 punto]

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Ejercicio 7: Probabilidad

En un curso de un instituto hay tres clases: la clase A con 50 alumnos, la clase B con 30 y la clase C con 20. Cada clase tiene un profesor distinto de matemáticas. Con el profesor de la clase A aprueban el 40 % de los alumnos, con el de la clase B el 50 % y con el de la clase C el 75 % de los alumnos. Se coge al azar un alumno del curso. Calcule:

a) La probabilidad de que el alumno haya aprobado matemáticas. [1,25 puntos]

b) Sabiendo que ha aprobado, cuál es la probabilidad de que sea de la clase B. [1,25 puntos]

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Ejercicio 8: Distribución normal

En una pumarada la producción en kilogramos de cada manzano sigue una distribución normal de media

μ = 50

y desviación típica

σ = 10

. Calcule:

a) La proporción de árboles que dan entre 30 y 60 kilogramos. [1,25 puntos]

b) El número de kilogramos por árbol a los que no llegan o igualan el 60 % de los árboles. [1,25 puntos]

Algunos valores de la función de distribución de la distribución normal de media 0 y desviación típica 1:

F (x) = P (Z \leq x)

F (2) = 0,9772

F (1) = 0,8413

F (1,5) = 0,9332

F (0,5) = 0,6915

F (0,2533) = 0,6

F (0,5244) = 0,7

F (0,8416) = 0,8

Ver la solución del ejercicio 8